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MATEMATICAS: Clifford torus (toroide / toro / anillo)
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 From: BARILOCHENSE6999  (Original message) Sent: 27/06/2015 02:46

# Clifford torus

A stereographic projection of a Clifford torus performing a simple rotation
Topologically a rectangle is the fundamental polygon of a torus, with opposite edges sewn together.

In geometric topology, the Clifford torus is a special kind of torus sitting inside R4, the Euclidean space of four dimensions. Alternatively, it can be seen as a torus sitting inside C2 since C2 is topologically equivalent to R4. Furthermore, every point of the Clifford torus lies at a fixed distance from the origin; therefore, it can also be viewed as sitting inside a 3-sphere.

The Clifford torus is also known as a square torus, because it is isometric to a square with side length 2π and with opposite sides identified. It is further known as a Euclidean 2-torus (the "2" is its topological dimension); figures drawn on it obey Euclidean geometry as if it were flat, whereas the surface of a common "doughnut"-shaped torus is positively curved on the outer rim and negatively curved on the inner. The Clifford torus cannot exist in Euclidean three-dimensional space.[1]

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## Formal definition

The unit circle S1 in R2 can be parameterized by an angle coordinate:

$S^1 = { ( cos{ heta}, sin{ heta} ) , | , 0 leq heta < 2pi }.$

In another copy of R2, take another copy of the unit circle

$S^1 = { ( cos{phi}, sin{phi} ) , | , 0 leq phi < 2pi }.$

Then the Clifford torus is

$S^1 imes S^1 = { ( cos{ heta}, sin{ heta}, cos{phi}, sin{phi} ) , | , 0 leq heta < 2pi, 0 leq phi < 2pi }.$

Since each copy of S1 is an embedded submanifold of R2, the Clifford torus is an embedded torus in R2 × R2 = R4.

If R4 is given by coordinates (x1, y1, x2, y2), then the Clifford torus is given by

$x_1^2 + y_1^2 = 1 = x_2^2 + y_2^2. ,$

## Alternate definitions

It is also common to consider the Clifford torus as an embedded torus in C2. In two copies of C, we have the following unit circles (still parametrized by an angle coordinate):

$S^1 = { e^{i heta} , | , 0 leq heta < 2pi }$

and

$S^1 = { e^{iphi} , | , 0 leq phi < 2pi }.$

Now the Clifford torus appears as

$S^1 imes S^1 = { ( e^{i heta}, e^{iphi} ) , | , 0 leq heta < 2pi, 0 leq phi < 2pi }.$

As before, this is an embedded submanifold, in this case of C2.

If C2 is given by coordinates (z1, z2), then the Clifford torus is given by

$left| z_{1} ight|^{2} = 1 = left| z_{2} ight|^{2}.$

In the Clifford torus as defined above, the distance of any point of the Clifford torus to the origin of C2 is

$sqrt{ left| e^{i heta} ight|^2 + left| e^{iphi} ight|^2 } = sqrt{2}.$

The set of all points at a distance of √2 from the origin of C2 is a 3-sphere, and so the Clifford torus sits inside this 3-sphere. In fact, the Clifford torus divides this 3-sphere into two congruent solid tori. (See Heegaard splitting.)

Instead of defining the Clifford torus as the product of two unit circles, it is also common to use two circles of radius 1/√2. (For example, Paul Norbury uses this convention when describing the Lawson Conjecture.[2]) With the alternate radius of 1/√2, the Clifford torus instead sits in the unit 3-sphere S3.

Since O(4) acts on R4 by orthogonal transformations, we can move the "standard" Clifford torus defined above to other equivalent tori via rigid rotations. The six-dimensional group O(4) acts transitively on the space of all such Clifford tori sitting inside the 3-sphere. However, this action has a two-dimensional stabilizer (see group action) since rotation in the meridional and longitudinal directions of a torus preserves the torus (as opposed to moving it to a different torus). Hence, there is actually a four-dimensional space of Clifford tori.[2]

## Properties

• The Clifford torus is "flat" - it can be flattened out to a plane without stretching, unlike the standard torus of revolution.
• The Clifford torus divides the 3-sphere into two congruent solid tori. (In a stereographic projection, the Clifford torus appears as a standard torus of revolution. The fact that it divides the 3-sphere equally means that the interior of the projected torus is equivalent to the exterior, which is not easily visualized).

## Uses in mathematics

In symplectic geometry, the Clifford torus gives an example of an embedded Lagrangian submanifold of C2 with the standard symplectic structure. (Of course, any product of embedded circles in C gives a Lagrangian torus of C2, so these need not be Clifford tori.)

The Lawson conjecture states that every minimally embedded torus in the 3-sphere with the round metric must be a Clifford torus. This conjecture was proved by Simon Brendle in 2012.

https://en.wikipedia.org/wiki/Clifford_torus

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 Reply Message 2 of 8 on the subject
 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 30/06/2015 15:59
LA SERPIENTE SE MUERDE LA COLA (CRONO DEVORA A SUS HIJOS Y VICEVERSA)

## Cronos devora a sus hijos

Cronos (Saturno) era el más jóven de los Titanes, hijos de la Madre Tierra y Urano (la tierra y el cielo). Urano, odiaba a sus hijos y los escondió en la Madre Tierra causándole gran dolor. Como venganza fabricó una hoz para Cronos y le convenció de que diese muerte a su padre. Cuando cumplió sus deseos, se desposó con su hermana Rea, pero temeroso de que sus propios hijos se levantasen en su contra, se los tragaba en cuanto nacían: primero Hestia, luego a Deméter, Hera, Hades y Posidón. Sin embargo, cuando Zeus, su sexto hijo, estaba por nacer, Rea lo alumbró en el silencio de la noche y lo confió a los cuidados de su madre, la Madre Tierra. En lugar de entregarle al bebé, le dió a Crono una piedra para que se la comiera. Cuando Zeus creció, pidió ser el copero de Cronos.. le preparó pues a su padre una poderosa sustancia que le hizo vomitar a la piedra y a sus otro cinco hijos mayores. Zeus, luego condujo a sus hermanos a la guerra contra los Titanes, a los que vencen y destierran al Tártro, en el mundo subterraneo. En adelante, Zeuz reinaría como el jefe supremo de los dioses.

 Reply Message 3 of 8 on the subject
 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 12/05/2016 19:11

 SATURNO=CRONOS=TOROIDE=ANILLO=20 DE ABRIL ("MAQUINA DEL TIEMPO")=CUBO 338 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 16:05 BANDERA DE ISRAEL=911=666="RELOJ MASONICO"=SATURNO="MAQUINA DEL TIEMPO" 146 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 16:05 ULTRA SECRETO MASONICO DETRAS DEL RELOJ 586 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 16:03 TABERNACULO (LUGAR SANTISIMO=CUBO)=RELOJ (ESPACIO/TIEMPO) 37 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 16:03 ROSCA DE LA PASCUA=RESURRECCION=NUEVA CREACION=TOROIDE=BIG BANG 32 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 16:01 RULETA, EL TOROIDE, APOCALIPSIS 3:7 Y LA "MAQUINA DEL TIEMPO" 29 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 16:00 SOL-O-MON=SOL Y LUNA=SABIDURIA=SO-PHI-A=PHI=1.618=ESCALERA DE JACOB=VIA LACTEA 785 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:59 JUAN 3:14 (NUMERO PI=22/7)-LA SERPIENTE SIEMPRE SE MUERDE LA COLA 14 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:57 NUMERO PI=3.1416=22/7 EN EL MISMO NOMBRE DE YHWH 95 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:56 SAINT MARY MAGDALENE=CLOCK="MACHINE TIME"=HOLY GRAIL 43 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:53 LA NATURALEZA DE CRISTO- ¿CRISTO JESUS TUVO PREEXISTENCIA? 136 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:44 NEXO DE LA REINA, LAS ABEJAS, CON EL EXAGONO, CON ORION-MERCURIO-ISHTAR GATE 33 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:34 8 (OCHO) TRIANGULOS=16 EXTREMOS=OCTOGONO (INTERSECCION) 211 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:29 BODAS DE CANA=7/8 DIA=SABADO=GENESIS 3:14=22/7="EXPERIMENTO FILADELFIA" 21 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:26 SANTA MARIA MAGDALENA ES EL MISMO "RELOJ MASONICO" 21 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:20 SIGNO \$=ASCII 36=666=BODAS DE CANA (SABIDURIA DE SALOMON / SAL/SOL-MON/LUNA) 2 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:12 SIGNO \$=ASCII 36=666=BODAS DE CANA (SABIDURIA DE SALOMON / SAL/SOL-MON/LUNA 1 BARILOCHENSE6999 12/05/2016 15:00 APOCALIPSIS 17:1,15 CLARA IRONIA DE LA "RAMERA" EN EL CONTEXTO A VENECIA 8 BARILOCHENSE6999 11/05/2016 15:19 APOCALIPSIS 17:9 CLAVE DRACO-SCORPION-PLEYADES-ORION-SIRIO 162 BARILOCHENSE6999 11/05/2016 15:19 PARA SEGUIR LAS EXPOSICIONES DEL FORO DIA A DIA 593 BARILOCHENSE6999 11/05/2016 15:14 TODOS LOS CAMINOS CONDUCEN A ROMA Y TODOS LOS CAMINOS CONDUCEN AL GRIAL 154 BARILOCHENSE6999 11/05/2016 15:13 SI-MON PEDRO/MON/MOON/LUNA/LLAVE DE SOL-O-MON(RELAC. CON MAGDALENA) 106 BARILOCHENSE6999 11/05/2016 15:13 EL SANTO GRIAL ESTA CODIFICADO EN EL DISEÑO DEL VATICANO 393 BARILOCHENSE6999 11/05/2016 15:12 SEÑAL DE JONAS-¿PORQUE EL NEXO PEDRO CON JUAN MARCOS? 354 BARILOCHENSE6999 11/05/2016 15:12

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 13/05/2016 16:52
 ALDEBARAN (LA ESTRELLA MAS BRILLANTE DE TAURO) 45 BARILOCHENSE6999 13/05/2016 13:31 MATEO 16:18,19 (HYADES, ALDEBARAN, ORION, SIRIO Y PLEYADES) 138 BARILOCHENSE6999 13/05/2016 13:31 TAURO/TORO (REFERENCIA A JOSE) 16 BARILOCHENSE6999 13/05/2016 13:31 TAURO/TORO (REFERENCIA A JOSE, HIJO DE RAQUEL, PADRE DE EFRAIM Y MANASES) 45 BARILOCHENSE6999 13/05/2016 13:30 TOROIDE/TAURO/TORO/PLEYADES/7 PALOMAS/MARIA MAGDALENA 26 BARILOCHENSE6999 13/05/2016 13:30 ITALIA SIGNIFICA TORO (TOROIDE="AGUJERO DE GUSANO"=TAURO=PLEYADES=VATICANO) 46 BARILOCHENSE6999 13/05/2016 13:26 LIBIA=TAURO, EGIPTO=ORION Y JERUSALEN=SIRIO (ULTRASECRETO DEL COMPLEJO GIZE) 17 BARILOCHENSE6999 13/05/2016 13:25 CREACION FUE EN LA ERA DE TAURO (NEXO FILADELFIA=VESICA PISCIS=TORO) 34 BARILOCHENSE6999 13/05/2016 13:24 ¿PORQUE CRISTO RELACIONA DRACO, "OJOS DE GATO", TAURO Y ORION? 92 BARILOCHENSE6999 13/05/2016 13:24 ARGENTINA/ARGENTUM/PLATA/SILVER GATE/TAURO 346 BARILOCHENSE6999 23/03/2016 13:13 SILVER GATE/PUERTA DE PLATA/TAURO/TORO 21 BARILOCHENSE6999 22/01/2016 21:54 CUBO METATRON=FLEUR DE LIS (ESCORPION)=CODIGO DA VINCI= TAURO = SANTO GRIAL 7 BARILOCHENSE6999 09/01/2016 12:49 Venus cruza el meridiano galactico (19.47) el 4/7/2004/Aldebaran 105 BARILOCHENSE6999 08/12/2015 14:43 ANTENAS TOROIDALES / TAURO / PLEYADES (NEXO "EXPERIMENTO FILADELFIA") 6 BARILOCHENSE6999 07/06/2015 13:16 ITALIA SIGNIFICA TORO (TOROIDE="AGUJERO DE GUSANO"=TAURO=PLEYADES=VATICANO) 1 BARILOCHENSE6999 17/02/2015 20:49 TORO / TAURO / TOROIDE / PLEYADES 1 BARILOCHENSE6999 03/02/2015 17:50 ¿THE BLAZING STAR REPRESENTS ALDEBARAN? 5 BARILOCHENSE6999 13/05/2014 11:47 ¿THE BLAZING STAR REPRESENTS ALDEBARAN? 1 BARILOCHENSE6999 31/01/2012 17:21

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 15/09/2016 13:22

 Reply Message 6 of 8 on the subject
 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 30/09/2016 14:30

LA TORRE DE BABEL, OSEA LA UNION ENTRE EL CIELO Y LA TIERRA, ES UN "AGUJERO DE GUSANO". EN ESTE MARCO ES EL GRIAL MISMO. SIMBOLIZA LA UNION ENTRE EL CIELO Y LA TIERRA, O LA CUADRATURA DEL CIRCULO (CIRCULO=CIELO; CUADRADO=TIERRA) O LA ESCUADRA Y EL COMPAS MASONICO. ES OBVIA LA CONNOTACION CON LA "ESCALERA DE JACOB". MAGDALENA TIENE CONNOTACION CON EL MISMO TERMINO TORRE EN HEBREO.

2. Ester 2:7 Y había criado a HADASA, es decir, Ester, hija de su tío, porque era húerfana; y la joven era de hermosa figura y de buen parecer. Cuando su padre y su madre murieron, Mardoqueo la adoptó como hija suya.

ESTHER=ISHTAR=STAR GATE=PUERTA ESTELAR
BABEL=PUERTA DE DIOS

1 Pedro 5:13: La iglesia que está en Babilonia, elegida juntamente con vosotros, y Marcos mi HIJO, os saludan.

HECHOS 12:12 / 33 / JUAN MARCOS

ESTRELLA DE 6 PUNTAS = 33 = 2 TRIANGULOS CRUZADOS =ALQUIMIA

BABILONIA ESTABA EN EL PARALELO 33 Y ERA UNA CIUDAD DE 7 COLINAS.
 TORRE DE LOS SIETE DE EZEQUIEL 29:10 Y SU NEXO CON MARIA MAGDALENA 32 BARILOCHENSE6999 29/09/2016 20:03 EXPERIMENTO FILADELFIA=22 DE JULIO=DIA DE MARIA LA MAGDALENA 631 BARILOCHENSE6999 29/09/2016 20:02 LA MAQUINA DEL TIEMPO MASÓNICA 598 Alcoseri 29/09/2016 20:01 EL BOSON DE HIGGS, EL GRIAL DE LOS FISICOS 84 BARILOCHENSE6999 29/09/2016 20:01 SATURNO (ANILLO)=SATURDAY=SABADO=TOROIDE=ACELERADOR DE PARTICULAS=GUSANO 30 BARILOCHENSE6999 29/09/2016 20:00 Primer choque de partículas en el acelerador gigante del CERN 47 amero nwo 29/09/2016 19:58 "ANGELES Y DEMONIOS"-ACELERADOR DE PARTICULAS-DAN BROWN ES ARGENTINO 87 BARILOCHENSE6999 29/09/2016 19:57 BOSON DE HIGGS (4/7/2012=INDEPENDENCIA DE EEUU)=APOCALIPSIS 4:7=FILADELFIA 17 BARILOCHENSE6999 29/09/2016 19:53 ACELERADOR DE PARTICULAS (CERN)=JANUKAH / J-ANUK-AH=CRUZ ANK=BEBE 46 BARILOCHENSE6999 29/09/2016 19:48 APOCALIPSIS 17:9 CLAVE DRACO-SCORPION-PLEYADES-ORION-SIRIO 119 BARILOCHENSE6999 29/09/2016 19:47 DEL EDEN A BABEL-TORRE DE BABEL EN CANCER 2 BARILOCHENSE6999 29/09/2016 19:45
BABEL/ BABY / BEBE /

 milky way in Simple Gematria Equals: 119 ( m 13 i9 l 12 k 11 y 25 0 w 23 a1 y 25 )
 queen mary in Simple Gematria Equals: 119 ( q 17 u 21 e5 e5 n 14 0 m 13 a1 r 18 y 25
 hebrew calendar in Simple Gematria Equals: 119 ( h8 e5 b2 r 18 e5 w 23 0 c3 a1 l 12 e5 n 14 d4 a1 r 18
 mary magdalene in Simple Gematria Equals: 119 ( m 13 a1 r 18 y 25 0 m 13 a1 g7 d4 a1 l 12 e5 n 14 e5

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 05/12/2016 14:54

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 19/11/2016 23:03

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 19/11/2016 23:13

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 20/11/2016 21:48
 La razon de la circunferencia y el diametro es obvio que es el numero PI.

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 20/11/2016 21:50

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 20/11/2016 22:00

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 20/11/2016 22:02

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 20/11/2016 22:19
 22/7=DIA DE MARIA LA MAGDALENA=3.14 =PI

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 27/11/2016 00:00

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 29/11/2016 00:37

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 02/12/2016 20:52

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 23/11/2016 21:49

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 27/11/2016 00:02

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 29/11/2016 00:00

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 29/11/2016 01:04

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 29/11/2016 20:38
15. Apocalipsis 1:8 Yo soy el ALFA
y la Omega, principio y fin, dice el Señor, el que es y que era y que ha de venir, el Todopoderoso.

16. Apocalipsis 1:11 que decía: Yo soy el ALFA y la Omega, el primero y el último. Escribe en un libro lo que ves, y envíalo a las siete iglesias que están en Asia: a Efeso, Esmirna, Pérgamo, Tiatira, Sardis, Filadelfia y Laodicea.

17. Apocalipsis 2:27 y las regirá con vara de hierro, y serán quebradas como vaso de ALFArero; como yo también la he recibido de mi Padre;

18. Apocalipsis 21:6 Y me dijo: Hecho está. Yo soy el ALFA y la Omega, el principio y el fin. Al que tuviere sed, yo le daré gratuitamente de la fuente del agua de la vida.

19. Apocalipsis 22:13 Yo soy el ALFA y la Omega, el principio y el fin, el primero y el último

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 From: BARILOCHENSE6999 Sent: 25/12/2016 01:12

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