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PERIODOS TERRESTRES Y PLANETARIOS: SOLAR TIME
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De: BARILOCHENSE6999  (Missatge original) Enviat: 10/06/2025 13:58

Solar time

 
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From Wikipedia, the free encyclopedia
(Redirected from Mean solar time)
On a prograde planet like the Earth, the sidereal day is shorter than the solar day. At time 1, the Sun and a certain distant star are both overhead. At time 2, the planet has rotated 360° and the distant star is overhead again (1→2 = one sidereal day). But it is not until a little later, at time 3, that the Sun is overhead again (1→3 = one solar day). More simply, 1→2 is a complete rotation of the Earth, but because the revolution around the Sun affects the angle at which the Sun is seen from the Earth, 1→3 is how long it takes noon to return. [Note that in this diagram, the relative motion, and corresponding angles, are highly exaggerated for illustrative purposes.]

Solar time is a calculation of the passage of time based on the position of the Sun in the sky. The fundamental unit of solar time is the day, based on the synodic rotation period. Traditionally, there are three types of time reckoning based on astronomical observations: apparent solar time and mean solar time (discussed in this article), and sidereal time, which is based on the apparent motions of stars other than the Sun.[1]

Introduction

The Earth's orbit around the Sun, showing its eccentricity

A tall pole vertically fixed in the ground casts a shadow on any sunny day. At one moment during the day, the shadow will point exactly north or south (or disappear when and if the Sun moves directly overhead). That instant is called local apparent noon, or 12:00 local apparent time. About 24 hours later the shadow will again point north–south, the Sun seeming to have covered a 360-degree arc around Earth's axis. When the Sun has covered exactly 15 degrees (1/24 of a circle, both angles being measured in a plane perpendicular to Earth's axis), local apparent time is 13:00 exactly; after 15 more degrees it will be 14:00 exactly.

The problem is that in September the Sun takes less time (as measured by an accurate clock) to make an apparent revolution than it does in December; 24 "hours" of solar time can be 21 seconds less or 29 seconds more than 24 hours of clock time. This change is quantified by the equation of time, and is due to the eccentricity of Earth's orbit (as in, Earth's orbit is not perfectly circular, meaning that the Earth–Sun distance varies throughout the year), and the fact that Earth's axis is not perpendicular to the plane of its orbit (the so-called obliquity of the ecliptic).

The effect of this is that a clock running at a constant rate – e.g. completing the same number of pendulum swings in each hour – cannot follow the actual Sun; instead it follows an imaginary "mean Sun" that moves along the celestial equator at a constant rate that matches the real Sun's average rate over the year.[2] This is "mean solar time", which is still not perfectly constant from one century to the next but is close enough for most purposes. As of 2008, a mean solar day is about 86,400.002 SI seconds, i.e., about 24.0000006 hours.[3]

Apparent solar time

See also: Solar day

The apparent sun is the true sun as seen by an observer on Earth.[4] Apparent solar time or true solar time[a] is based on the apparent motion of the actual Sun. It is based on the apparent solar day, the interval between two successive returns of the Sun to the local meridian.[5][6] Apparent solar time can be crudely measured by a sundial.[b]

The length of a solar day varies through the year, and the accumulated effect produces seasonal deviations of up to 16 minutes from the mean. The effect has two main causes. First, due to the eccentricity of Earth's orbit, Earth moves faster when it is nearest the Sun (perihelion) and slower when it is farthest from the Sun (aphelion) (see Kepler's laws of planetary motion). Second, due to Earth's axial tilt (known as the obliquity of the ecliptic), the Sun's annual motion is along a great circle (the ecliptic) that is tilted to Earth's celestial equator. When the Sun crosses the equator at both equinoxes, the Sun's daily shift (relative to the background stars) is at an angle to the equator, so the projection of this shift onto the equator is less than its average for the year; when the Sun is farthest from the equator at both solstices, the Sun's shift in position from one day to the next is parallel to the equator, so the projection onto the equator of this shift is larger than the average for the year (see tropical year). In June and December when the sun is farthest from the celestial equator, a given shift along the ecliptic corresponds to a large shift at the equator. Therefore, apparent solar days are shorter in March and September than in June or December.

Length of apparent solar day (1998)[9]
DateDuration in mean solar time
February 11 24 hours
March 26 24 hours − 18.1 seconds
May 14 24 hours
June 19 24 hours + 13.1 seconds
July 25/26 24 hours
September 16 24 hours − 21.3 seconds
November 2/3 24 hours
December 22 24 hours + 29.9 seconds

These lengths will change slightly in a few years and significantly in thousands of years.

Mean solar time 

Main article: Universal Time
The equation of time—above the x-axis a sundial will appear fast relative to a clock showing local mean time, and below the axis a sundial will appear slow.

Mean solar time is the hour angle of the mean position of the Sun, plus 12 hours. This 12 hour offset comes from the decision to make each day start at midnight for civil purposes, whereas the hour angle or the mean sun is measured from the local meridian.[10] As of 2009, this is realized with the UT1 time scale, constructed mathematically from very-long-baseline interferometry observations of the diurnal motions of radio sources located in other galaxies, and other observations.[11]: 68, 326 [12] The duration of daylight varies during the year but the length of a mean solar day is nearly constant, unlike that of an apparent solar day.[13] An apparent solar day can be 20 seconds shorter or 30 seconds longer than a mean solar day.[9][14] Long or short days occur in succession, so the difference builds up until mean time is ahead of apparent time by about 14 minutes near February 6, and behind apparent time by about 16 minutes near November 3. The equation of time is this difference, which is cyclical and does not accumulate from year to year.

Mean time follows the mean sun. Jean Meeus describes the mean sun as follows:

Consider a first fictitious Sun travelling along the ecliptic with a constant speed and coinciding with the true sun at the perigee and apogee (when the Earth is in perihelion and aphelion, respectively). Then consider a second fictitious Sun travelling along the celestial equator at a constant speed and coinciding with the first fictitious Sun at the equinoxes. This second fictitious sun is the mean Sun.[15]

The length of the mean solar day is slowly increasing due to the tidal acceleration of the Moon by Earth and the corresponding slowing of Earth's rotation by the Moon.

History

See also: History of timekeeping devices
Sun and Moon, Nuremberg Chronicle, 1493

The sun has always been visible in the sky, and its position forms the basis of apparent solar time, the timekeeping method used in antiquity. An Egyptian obelisk constructed c. 3500 BC,[16] a gnomon in China dated 2300 BC,[17] and an Egyptian sundial dated 1500 BC[18] are some of the earliest methods for measuring the sun's position.

Babylonian astronomers knew that the hours of daylight varied throughout the year. A tablet from 649 BC shows that they used a 2:1 ratio for the longest day to the shortest day, and estimated the variation using a linear zigzag function.[19] It is not clear if they knew of the variation in the length of the solar day and the corresponding equation of time. Ptolemy clearly distinguishes the mean solar day and apparent solar day in his Almagest (2nd century), and he tabulated the equation of time in his Handy Tables.[20]

Apparent solar time grew less useful as commerce increased and mechanical clocks improved. Mean solar time was introduced in almanacs in England in 1834 and in France in 1835. Because the sun was difficult to observe directly due to its large size in the sky, mean solar time was determined as a fixed ratio of time as observed by the stars, which used point-like observations. A specific standard for measuring "mean solar time" from midnight came to be called Universal Time.[11]: 9–11

Conceptually Universal Time is the rotation of the Earth with respect to the sun and hence is mean solar time. However, UT1, the version in common use since 1955, uses a slightly different definition of rotation that corrects for the motion of Earth's poles as it rotates. The difference between this corrected mean solar time and Coordinated Universal Time (UTC) determines whether a leap second is needed. (Since 1972 the UTC time scale has run on SI seconds, and the SI second, when adopted, was already a little shorter than the current value of the second of mean solar time.[21][11]: 227–231 )

See also



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Resposta  Missatge 2 de 6 del tema 
De: BARILOCHENSE6999 Enviat: 10/06/2025 13:59

Tiempo solar

 
 
 
En un planeta prógrado como la Tierra, el día sideral es más corto que el día solar. En el momento 1, el Sol y una determinada estrella distante están ambos en lo alto. En el momento 2, el planeta ha girado 360° y la estrella distante está en lo alto nuevamente (1→2= un día sideral). Pero no es hasta un poco más tarde, en el momento 3, que el Sol está en lo alto nuevamente (1→3= un día solar). Más simplemente, 1→2 es una rotación de la Tierra completa, pero debido a que la revolución alrededor del Sol afecta al ángulo en el que el Sol se ve desde la Tierra, 1→3 es el tiempo que tarda el mediodía en regresar (obsérvese que en este diagrama, el movimiento relativo y los ángulos correspondientes están muy exagerados con fines ilustrativos)

El tiempo solar es una medida del tiempo fundamentada en el movimiento aparente del Sol sobre el horizonte del lugar. Toma como origen el instante en el cual el Sol pasa por el meridiano, que es su punto más alto en el cielo, denominado mediodía.[1]​ A partir de este instante se van contando las horas en intervalos de 24 partes hasta que completan el ciclo diurno.

Sin embargo, el Sol no tiene un movimiento regular a lo largo del año, y por esta razón el tiempo solar se divide en dos categorías:

  • El tiempo solar verdadero está basado en el día solar verdadero, el cual es el intervalo entre dos pasos sucesivos del Sol por el meridiano. Puede ser medido con un reloj de sol, y se corresponde con el amanecer, el mediodía o el anochecer: se basa en lo que es posible observar de manera directa.

La duración de un día solar verdadero varía a lo largo del año. Esto se debe a que la órbita terrestre es una elipse, con lo cual la Tierra en su movimiento de traslación se mueve más veloz cuando se acerca al Sol y más despacio cuando se aleja de él (ver Leyes de Kepler). Debido a esto, el día solar más corto es el 15 de septiembre, mientras que el día solar más largo es el 22 de diciembre, tanto el Hemisferio Norte como en el Hemisferio Sur.[2]​

La diferencia entre el tiempo solar verdadero y el tiempo solar medio, que en ocasiones llega a ser de 16 minutos y 27 segundos se llama ecuación de tiempo

Notas

[editar]
  1. ↑ La definición formal es un tanto más compleja, dado que toma como origen del día solar el instante en el cual el Sol pasa por el antimeridiano del lugar, instante que se corresponde con la medianoche solar.
  2. ↑ Antonio Bernal González. Astronomía. II Época. Nº 137. p.48

 Véase también

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Resposta  Missatge 3 de 6 del tema 
De: BARILOCHENSE6999 Enviat: 10/06/2025 14:04

Universal Time

 
 
 
"UT1" redirects here. For other uses, see UT1 (disambiguation). Not to be confused with Coordinated Universal Time.

Universal Time (UT or UT1) is a time standard based on Earth's rotation.[1] While originally it was mean solar time at 0° longitude, precise measurements of the Sun are difficult. Therefore, UT1 is computed from a measure of the Earth's angle with respect to the International Celestial Reference Frame (ICRF), called the Earth Rotation Angle (ERA, which serves as the replacement for Greenwich Mean Sidereal Time). UT1 is the same everywhere on Earth. UT1 is required to follow the relationship

ERA = 2π(0.7790572732640 + 1.00273781191135448 · Tu) radians

where Tu = (Julian UT1 date − 2451545.0).[2]

History

Prior to the introduction of standard time, each municipality throughout the clock-using world set its official clock, if it had one, according to the local position of the Sun (see solar time). This served adequately until the introduction of rail travel in Britain, which made it possible to travel fast enough over sufficiently long distances as to require continuous re-setting of timepieces as a train progressed in its daily run through several towns. Starting in 1847, Britain established Greenwich Mean Time, the mean solar time at Greenwich, England, to solve this problem: all clocks in Great Britain were set to this time regardless of local solar noon.[a] Using telescopes, GMT was calibrated to the mean solar time at the prime meridian through the Royal Observatory, Greenwich. Chronometers or telegraphy were used to synchronize these clocks.[4]

Standard time zones of the world. The number at the bottom of each zone specifies the number of hours to add to UTC to convert it to the local time.

As international commerce increased, the need for an international standard of time measurement emerged. Several authors proposed a "universal" or "cosmic" time (see Time zone § Worldwide time zones). The development of Universal Time began at the International Meridian Conference. At the end of this conference, on 22 October 1884,[b] the recommended base reference for world time, the "universal day", was announced to be the local mean solar time at the Royal Observatory in Greenwich, counted from 0 hours at Greenwich mean midnight.[5] This agreed with the civil Greenwich Mean Time used on the island of Great Britain since 1847. In contrast, astronomical GMT began at mean noon, i.e. astronomical day X began at noon of civil day X. The purpose of this was to keep one night's observations under one date. The civil system was adopted as of 0 hours (civil) 1 January 1925. Nautical GMT began 24 hours before astronomical GMT, at least until 1805 in the Royal Navy, but persisted much later elsewhere because it was mentioned at the 1884 conference. Greenwich was chosen because by 1884 two-thirds of all nautical charts and maps already used it as their prime meridian.[6]

During the period between 1848 and 1972, all of the major countries adopted time zones based on the Greenwich meridian.[7]

In 1928, the term Universal Time (UT) was introduced by the International Astronomical Union to refer to GMT, with the day starting at midnight.[8] The term was recommended as a more precise term than Greenwich Mean Time, because GMT could refer to either an astronomical day starting at noon or a civil day starting at midnight.[9] As the general public had always begun the day at midnight, the timescale continued to be presented to them as Greenwich Mean Time.[citation needed]

When introduced, broadcast time signals were based on UT, and hence on the rotation of the Earth. In 1955 the BIH adopted a proposal by William Markowitz, effective 1 January 1956, dividing UT into UT0 (UT as formerly computed), UT1 (UT0 corrected for polar motion) and UT2 (UT0 corrected for polar motion and seasonal variation). UT1 was the version sufficient for "many astronomical and geodetic applications", while UT2 was to be broadcast over radio to the public.[10][11]

UT0 and UT2 soon became irrelevant due to the introduction of Coordinated Universal Time (UTC). Starting in 1956, WWV broadcast an atomic clock signal stepped by 20 ms increments to bring it into agreement with UT1.[12] The up to 20 ms error from UT1 is on the same order of magnitude as the differences between UT0, UT1, and UT2. By 1960, the U.S. Naval Observatory, the Royal Greenwich Observatory, and the UK National Physical Laboratory had developed UTC, with a similar stepping approach. The 1960 URSI meeting recommended that all time services should follow the lead of the UK and US and broadcast coordinated time using a frequency offset from cesium aimed to match the predicted progression of UT2 with occasional steps as needed.[13] Starting 1 January 1972, UTC was defined to follow UT1 within 0.9 seconds rather than UT2, marking the decline of UT2.[14]

Modern civil time generally follows UTC. In some countries, the term Greenwich Mean Time persists in common usage to this day in reference to UT1, in civil timekeeping as well as in astronomical almanacs and other references. Whenever a level of accuracy better than one second is not required, UTC can be used as an approximation of UT1. The difference between UT1 and UTC is known as DUT1.[14]

Adoption in various countries

The table shows the dates of adoption of time zones based on the Greenwich meridian, including half-hour zones.

YearCountries[15]
1847 Great Britain[3]
1880 Ireland (entire island)
1883 Canada, United States[c]
1884 Serbia
1886 New Zealand[16]
1888 Japan
1892 Belgium, the Netherlands,[d] S. Africa[e]
1893 Italy, Germany, Austria-Hungary (railways)
1894 Bulgaria, Denmark, Norway, Switzerland, Romania, Turkey (railways)
1895 Australia, Natal
1896 Formosa (Taiwan)
1899 Puerto Rico, Philippines
1900 Sweden, Egypt, Alaska
1901 Spain
1902 Mozambique, Rhodesia
1903 Ts'intao, Tientsin
1904 China Coast, Korea, Manchuria, N. Borneo
1905 Chile
1906 India (except Calcutta), Ceylon (Sri Lanka), Seychelles
1907 Mauritius, Chagos
1908 Faroe Is., Iceland
1911 France, Algeria, Tunis, many French overseas possessions, British West Indies
1912 Portugal and overseas possessions, other French possessions, Samoa, Hawaii, Midway and Guam, Timor, Bismarck Arch., Jamaica, Bahamas Is.
1913 British Honduras, Dahomey
1914 Albania, Brazil, Colombia
1916 Greece, Poland, Turkey
YearCountries
1917 Iraq, Palestine
1918 Guatemala, Panama, Gambia, Gold Coast
1919 Latvia, Nigeria
1920 Argentina, Uruguay, Burma, Siam
1921 Finland, Estonia, Costa Rica
1922 Mexico
1924 Java, USSR
1925 Cuba
1928 China Inland
1930 Bermuda
1931 Paraguay
1932 Barbados, Bolivia, Dutch East Indies
1934 Nicaragua, E. Niger
By 1936 Labrador, Norfolk I.
By 1937 Cayman Is., Curaçao, Ecuador, Newfoundland
By 1939 Fernando Po, Persia
By 1940 Lord Howe I.
1940 The Netherlands
By 1948 Aden, Ascension I., Bahrain, British Somaliland, Calcutta, Dutch Guiana, Kenya, Federated Malay States, Oman, Straits Settlements, St. Helena, Uganda, Zanzibar
By 1953 Rarotonga, South Georgia
By 1954 Cook Is.
By 1959 Maldive I. Republic
By 1961 Friendly Is., Tonga Is.
By 1962 Saudi Arabia
By 1964 Niue Is.
1972 Liberia

 

Apart from Nepal Standard Time (UTC+05:45), the Chatham Standard Time Zone (UTC+12:45) used in New Zealand's Chatham Islands[17] and the officially unsanctioned Central Western Time Zone (UTC+8:45) used in Eucla, Western Australia and surrounding areas, all time zones in use are defined by an offset from UTC that is a multiple of half an hour, and in most cases a multiple of an hour.[citation needed]

Measurement

See also: Earth's rotation § Measurement

Historically, Universal Time was computed from observing the position of the Sun in the sky. But astronomers found that it was more accurate to measure the rotation of the Earth by observing stars as they crossed the meridian each day. Nowadays, UT in relation to International Atomic Time (TAI) is determined by Very Long Baseline Interferometry (VLBI) observations of the positions of distant celestial objects (stars and quasars), a method which can determine UT1 to within 15 microseconds or better.[18][19]

An 1853 "Universal Dial Plate" showing the relative times of "all nations" before the adoption of universal time

The rotation of the Earth and UT are monitored by the International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS). The International Astronomical Union also is involved in setting standards, but the final arbiter of broadcast standards is the International Telecommunication Union or ITU.[20]

The rotation of the Earth is somewhat irregular and also is very gradually slowing due to tidal acceleration. Furthermore, the length of the second was determined from observations of the Moon between 1750 and 1890. All of these factors cause the modern mean solar day, on the average, to be slightly longer than the nominal 86,400 SI seconds, the traditional number of seconds per day.[f] As UT is thus slightly irregular in its rate, astronomers introduced Ephemeris Time, which has since been replaced by Terrestrial Time (TT). Because Universal Time is determined by the Earth's rotation, which drifts away from more precise atomic-frequency standards, an adjustment (called a leap second) to this atomic time is needed since (as of 2019) 'broadcast time' remains broadly synchronised with solar time.[g] Thus, the civil broadcast standard for time and frequency usually follows International Atomic Time closely, but occasionally step (or "leap") in order to prevent them from drifting too far from mean solar time.[citation needed]

Barycentric Dynamical Time (TDB), a form of atomic time, is now used in the construction of the ephemerides of the planets and other Solar System objects, for two main reasons.[21] First, these ephemerides are tied to optical and radar observations of planetary motion, and the TDB time scale is fitted so that Newton's laws of motion, with corrections for general relativity, are followed. Next, the time scales based on Earth's rotation are not uniform and therefore, are not suitable for predicting the motion of bodies in the Solar System.[citation needed]

Alternate versions 

UT1 is the principal form of Universal Time.[1] However, there are also several other infrequently used time standards that are referred to as Universal Time, which agree within 0.03 seconds with UT1:[22]

  • UT0 is Universal Time determined at an observatory by observing the diurnal motion of stars or extragalactic radio sources, and also from ranging observations of the Moon and artificial Earth satellites. The location of the observatory is considered to have fixed coordinates in a terrestrial reference frame (such as the International Terrestrial Reference Frame) but the position of the rotational axis of the Earth wanders over the surface of the Earth; this is known as polar motion. UT0 does not contain any correction for polar motion while UT1 does include them. The difference between UT0 and UT1 is on the order of a few tens of milliseconds. The designation UT0 is no longer in common use.[23]
  • UT1R is a smoothed version of UT1, filtering out periodic variations due to tides. It includes 62 smoothing terms, with periods ranging from 5.6 days to 18.6 years.[24] UT1R is still in use in the technical literature but rarely used elsewhere.[25]
  • UT2 is a smoothed version of UT1, filtering out periodic seasonal variations. It is mostly of historic interest and rarely used anymore. It is defined by
��2=��1+0.022⋅sin⁡(2��)−0.012⋅cos⁡(2��)−0.006⋅sin⁡(4��)+0.007⋅cos⁡(4��)seconds{displaystyle UT2=UT1+0.022cdot sin(2pi t)-0.012cdot cos(2pi t)-0.006cdot sin(4pi t)+0.007cdot cos(4pi t);{mbox{seconds}}}
where t is the time as fraction of the Besselian year.[26]

See also


Resposta  Missatge 4 de 6 del tema 
De: BARILOCHENSE6999 Enviat: 10/06/2025 14:17
Tiempo solar medio - Wikipedia, la enciclopedia libre

Resposta  Missatge 5 de 6 del tema 
De: BARILOCHENSE6999 Enviat: 10/06/2025 14:19
Día Solar y sideral; ¿cuántas vueltas da la Tierra en un año? | Pablo Della Paolera

Resposta  Missatge 6 de 6 del tema 
De: BARILOCHENSE6999 Enviat: 10/06/2025 14:33

miércoles, 25 de noviembre de 2009

ecuación del tiempo

 
Se denomina Ecuación Del Tiempo la diferencia entre el tiempo solar verdadero y el tiempo solar medio:

EDT = tiempo solar verdadero - tiempo solar medio

Suele representarse en una gráfica que muestra esa diferencia a lo largo de los dias del año. Según mis cálculos en 2009 es más o menos así:



En la Gráfica 1 la curva negra representa la ecuación del tiempo. La discrepancia entre el tiempo solar verdadero (el del reloj de Sol) y el tiempo solar medio (el del buen reloj convencional) tiene dos causas calculables de forma separada, que llevan aparejadas su ecuación correspondiente:

1- Ecuación de Inclinación de la Eclíptica (EIE). La órbita de la Tierra alrededor del Sol está contenida en un plano inclinado respecto al plano perpendicular al eje de rotación terrestre.

2- Ecuación de Excentricidad de la órbita (EEX). La órbita de la Tierra alrededor del Sol no es circular, sino una elipse con cierta excentricidad.

Estas dos contribuciones, EIE y EEX, que sumadas dan la ecuación del tiempo EDT se muestran también en la Gráfica 1.

(ojo, puede encontrarse en libros o webs la EDT definida con el signo cambiado, y la gráfica por tanto "patas arriba")

Visualizando la EDT con la Esfera Celeste

El cálculo de EDT requiere manejar dos sistemas de referencia diferentes. En la Figura 1 se ilustra el punto de vista geocéntrico: la Tierra (pequeña esfera azul claro) en el centro, girando sobre su eje. La esfera celeste (rejilla gris) con sus "estrellas fijas", no mostradas en la Figura 1. Y sobre esa esfera el Sol desplazandose a lo largo del año alrededor de la Tierra sobre la eclíptica (en rojo), en el mismo sentido de la rotación terrestre.

Vemos uno de los dos sistemas de referencia a usar en los cálculos, el que llamaré sistema equinoccial. Su centro, el de la Tierra. Su eje Z coincide con el eje de rotación terrestre, y el plano perpendicular al mismo determina sobre la esfera el ecuador celeste (en azul). Este corta a la eclíptica en dos puntos: el punto de Aries, por donde pasa el Sol el día del equinoccio de marzo, y el punto de Libra, por donde pasa el Sol el día del equinoccio de septiembre. El eje X se elige para que pase siempre por el punto de Aries. El eje Y se elige para formar un triedro a derechas. Debido a la precesión de los equinoccios nuestros ejes se mueven muy lentamente respecto a las "estrellas fijas".




La Figura 1 nos ayuda a "ver" la ecuación del tiempo. El tiempo solar medio discurre al ritmo fijo de un buen reloj, y su valor lo determina por definición un punto imaginario, el Sol Ecuatorial Medio, en adelante ECUA, que se mueve uniformemente sobre el ecuador celeste dando una vuelta completa respecto a nuestro sistema equinoccial en un año trópico. Si ajustamos nuestro buen reloj a la hora local del meridiano en que nos encontramos, el reloj debe marcar las 12h del día (solar medio) cuando ECUA culmine sobre nuestro meridiano superior. Hemos marcado este meridiano en gris sobre la superficie terrestre, y también el correspondiente sobre la esfera celeste, pasando por ECUA.

En la situación recogida en la Figura 1, el Sol aún no ha culminado sobre nuestro meridiano cuando justo lo hace ECUA. La Tierra aún tiene que girar hasta que nuestro meridiano "alcance" al Sol, y este culmine, momento en que será el mediodía, las 12h de tiempo solar verdadero. El tiempo solar verdadero va retrasado, a las 12h del tiempo solar medio aún no son las 12h del tiempo solar verdadero, luego EDT es negativa. ¿Por cuantos minutos?

Justo cuando ECUA culmina sobre nosotros, medimos la separación angular sobre el ecuador entre nuestro meridiano, y el meridiano en que se encuentra el Sol, un cuarto del cual se muestra en rojo oscuro en la Figura 1 y sirve para "proyectar" el Sol hasta el punto Sol2 sobre el ecuador celeste.

En ese momento sabemos la diferencia angular entre ECUA y Sol2. La relación entre diferencia angular y temporal se basa en que los 360º corresponden a 24 horas. Por ejemplo, si el Sol va 1º por delante de ECUA, resulta que el tiempo solar verdadero va retrasado 4 minutos horarios respecto al tiempo solar medio. A las 12h de nuestro reloj el Sol culmina en el meridiano cuyo tiempo solar medio local es 12h y 4 minutos (ECUA ya culminó sobre ese meridiano que está 1º al Este del nuestro). Por tanto EDT = -4 minutos.

Esta pesada discusión es la base para el factor de conversión a usar en nuestros cálculos para llegar de cantidades angulares a tiempos expresados en minutos sobre el eje vertical de nuestra gráfica de EDT: 360º o 2π radianes corresponden a 1440 minutos de tiempo solar medio, o a 86400 segundos como el definido en el Sistema Internacional de unidades. También nos indica el curioso e importante hecho de que un adelanto posicional (y angular) del Sol respecto a ECUA, implica un retraso temporal del tiempo solar verdadero respecto al tiempo solar medio.

Dos problemas

Para calcular EDT debemos saber, en función del día del año, donde está ECUA y dónde el Sol, establecer su diferencia angular medida sobre el ecuador, y expresar la misma en términos de minutos de tiempo.

ECUA se mueve uniformente sobre el ecuador, pero no así Sol2, la proyección del Sol sobre el ecuador celeste. Hay dos problemas matemáticos a resolver:

PM1- Mediante la geometría esférica, dado un punto sobre la eclíptica, obtener su proyección sobre el ecuador.

PM2- Mediante las leyes de la mecánica determinar cómo se mueve la Tierra alrededor del Sol, y saber así dónde, sobre la esfera celeste, está el Sol visto desde la Tierra.

Resolución de PM1

La resolución de PM1 es "fácil" y además es la única influencia para determinar la ecuación de la inclinación de la eclíptica, EIE.

En la Figura 2 tenemos un triangulo esférico determinado por 3 puntos A, B y C.



  • A es nuestro origen de medida de arcos en el sistema equinoccial, el punto de Aries.
  • AB es un arco sobre la eclíptica, cuya magnitud λ da la longitud eclíptica del punto B.
  • AC es un arco sobre el ecuador, cuya magnitud α da la ascensión recta del punto B, igual a la del punto C, que es la proyección de B sobre el ecuador, dado que el arco BC es parte de un meridiano celeste.
  • Los lados AB y AC forman un ángulo ε igual a la inclinación (u oblicuidad) de la eclíptica.

Los tres arcos, AB, AC y BC son parte de sendos círculos máximos de la esfera celeste. El punto D sobre el ecuador es tal que determina un arco AD igual en magnitud al arco AB: la ascensión recta de D es igual a la longitud eclíptica de B. En el caso de la Figura 2 se ve claramente que D está a la derecha de C pues AC es menor que AB.

La trigonometría esférica proporciona la siguiente relación entre λ y α para un ε dado:


o esta otra equivalente pero sin la problemática tangente y sus visitas al infinito:


Esta relación se usa tanto en el cálculo directo de EDT, como en el cálculo desglosado de EIE por un lado y EEX por otro.

La Gráfica 2 muestra la diferencia entre λ y α como función de λ:



La periodicidad y el signo de la curva en cada parte de la Gráfica 2 se pueden "seguir" directamente observando la Figura 2. En A es donde más rápidamente se separa la eclíptica del ecuador. Cerca de A el punto B se mueve en parte según el ecuador, y en parte hacia arriba, mientras D sobre el ecuador cubre el mismo arco, AD = AB . La proyección de B sobre el ecuador, el punto C, se retrasa rápidamente: AB = λ > α = AC , es decir, λ-α es positiva y crece.

Pero a 90º desde A la eclíptica llega a su máxima incursión hacia el norte, allí es justamente paralela al ecuador. Alrededor de esa zona un arco dado sobre la eclíptica, al proyectarse sobre el ecuador, se "abre" hasta un arco mayor. Por eso el retraso inicial de C respecto a D va disminuyendo según D (y B) avanzan. Cuando D y B llegan a los 90º desde A, C coincide con D, la diferencia se anula. Tanto sobre la eclíptica como sobre el ecuador se ha completado un cuarto de círculo máximo, λ=α=90º. Se ha completado el primer lóbulo de los cuatro que tiene la Gráfica 2.

Al seguir avanzando dentro aún de la zona de "paralelismo eclíptica-ecuador", C adelanta a D. Pero cuando se va llegando al otro punto de cruce entre eclíptica y ecuador la tendencia vuelve a invertirse, D reduce su distancia a C y le alcanza en el punto opuesto a A, al cubrirse el primer semicírculo, λ=α=180º, y completarse un periodo de la curva mostrada en la Gráfica 2.

Resolución de PM2

En cuanto al otro problema, PM2, tiene una parte física y otra puramente matemática. Su resolución se expresa adecuadamente desde un punto de vista heliocéntrico en un sistema de referencia inercial, que llamaremos sistema orbital, en el que aplicamos las leyes de la mecánica de Newton, con simplificaciones adecuadas. La más drástica, considerar únicamente un sistema de dos cuerpos, el Sol y la Tierra. Entre las consecuencias de tales leyes está que la órbita de la Tierra alrededor del Sol tiene la forma de una elipse (con el Sol en uno de los focos, 1ª ley de Kepler), recorrida con momento angular (y velocidad areolar) constante (2ª ley de Kepler). Esto implica una mayor velocidad lineal cerca del Sol, y menor lejos. La Figura 3 muestra los elementos de la solución del problema, aunque de una forma no realista, pues la excentricidad de la elipse mostrada es mucho mayor que la real de la órbita terrestre.



El Sol es el origen de los ejes del sistema orbital, con el eje de abcisas dirigido hacia el perihelio, que va a ser el origen de medida de ángulos, y con el eje de ordenadas a 90º en el sentido del movimiento de la Tierra. El paso del tiempo va asociado a la posición de un punto M que se mueve uniformemente sobre el círculo rojo, que tiene como diámetro el eje mayor de la elipse. Por tanto el ángulo PCM, llamado anomalía media, M, crece proporcionalmente al tiempo, y completa una vuelta en un año sidéreo, el mismo tiempo en que la Tierra completa su vuelta al Sol visto desde nuestro sistema orbital.

La aplicación de las leyes de la mecánica, además de deducir la forma elíptica de la órbita, conduce a una relación entre la anomalía media M y la llamada anomalía excéntrica E, el ángulo PCE determinado por el punto E de la Figura 3, el centro C de la elipse, y el perihelio P. Resulta que, siendo e la excentricidad de la elipse:


Esta ecuación implícita en E no es resoluble analíticamente, hay que recurrir a aproximaciones o a métodos numéricos para obtener el valor de E para cada M.

¿Y que tiene el punto E de especial? En la Figura 3 se aprecia que la posición del punto E sobre la circunferencia roja está en la misma vertical que pasa por el punto T (la Tierra) sobre la elipse. Hay una relación, deducible de la geometría de la elipse, entre la anomalía excéntrica E, y la llamada anomalía verdadera ν, que es el ángulo PST. Esa relación es :


Por tanto a partir del tiempo t desde el paso por el perihelio se calcula M, a partir de M se calcula E, y a partir de E se calcula ν lo que nos permite saber dónde está la Tierra en ese momento.

La Gráfica 3 muestra la diferencia entre M y ν a lo largo de una órbita completa.



Mientras que M se mueve a velocidad constante sobre el círculo rojo de la Figura 3, la Tierra va más rápida cerca del perihelio y más lenta cerca del afelio. M y T arrancan a la vez al paso por el perihelio, nuestro origen de tiempo y de ángulos, pero enseguida el punto T se "adelanta" al punto M (M < ν). Luego, según se acerca al afelio, T va cada vez más despacio, M a su ritmo constante le va cogiendo y le pilla justo al llegar al afelio (M=180º), y luego le pasa, quedando T rezagado (M > ν). Pero de nuevo al acercarse el perihelio T aumenta su velocidad, va acortando las distancias con M, hasta coincidir de nuevo en el perihelio. Y vuelta a empezar.

Ensamblado de las soluciones

Para obtener EDT solo nos falta un "pequeño detalle", ensamblar el resultado de PM2, obtenido en el sistema de referencia orbital (con origen de ángulos en el perihelio y carácter heliocéntrico), con nuestro sistema equinoccial en el que realizamos la resolución de PM1 (con origen de ángulos en el punto de Aries y carácter geocéntrico). Para ello es esencial conocer la distancia angular entre ambos origenes.

Podemos usar los parámetros de la Tierra calculables desde el formulario web disponible en http://aom.giss.nasa.gov/srorbpar.html. Los valores entre 2000 y 2010 son

Parámetros orbitales para la Tierra

Long. del
Año Excentri Oblicuidad Perihelio
(D.C.) cidad (grados) (grados)
------ -------- --------- --------
2000 .016704 23.4398 282.895
2001 .016703 23.4396 282.913
2002 .016703 23.4395 282.930
2003 .016702 23.4394 282.947
2004 .016702 23.4392 282.964
2005 .016702 23.4391 282.981
2006 .016701 23.4390 282.998
2007 .016701 23.4389 283.015
2008 .016700 23.4387 283.033
2009 .016700 23.4386 283.050
2010 .016700 23.4385 283.067

En la tabla proporcionada en el sitio web mencionado se llama longitud del perihelio lo que en otras referencias se denomina argumento del perihelio, ω que, adoptando el punto de vista heliocéntrico, es el ángulo desde el nodo ascendente hasta el perihelio, medido en el sentido de la traslación terrestre. El nodo ascendente corresponde a la dirección del punto de Libra, por el que pasa la Tierra el día del equinoccio de marzo, ver la Figura 4. El resto de "vuelta" hasta los 360º, desde el perihelio hasta el punto de Libra, es igual a la anomalía verdadera de la Tierra el día del equinoccio de marzo. Para 2009 νe=360-283.05=76.95º. Si se ven las cosas desde el punto de vista geocéntrico ese mismo ángulo es el que se mide el día del equinoccio de marzo entre la posición que tuvo el Sol en el perihelio y el punto de Aries, que es donde está el Sol en ese momento, y corresponde por tanto al valor absoluto de la longitud eclíptica del Sol en el perihelio, que es negativa.


La distancia angular entre perihelio y equinoccio de marzo nos da el desfase entre los dos sistemas empleados, el orbital y el equinoccial. Sólo nos hace falta fijar el tiempo exacto en que se da un evento concreto, por ejemplo el paso del Sol por el equinoccio de marzo. De acuerdo a http://aa.usno.navy.mil/data/docs/EarthSeasons.php en 2009 el equinoccio de marzo es el 20 de marzo a las 11h 44 minutos UT.

Puede calcularse el intervalo temporal entre perihelio y equinoccio de marzo en base a los datos de la anterior página. Pero el momento del perihelio allí reflejado es muy sensible a la interacción Luna-Tierra, y es un poco más adecuado tomar sólo el día del equinoccio como referencia puntual, y usar para la diferencia temporal entre perihelio y equinoccio un tiempo obtenido a partir de la anomalía verdadera en el equinoccio de marzo, deduciendo así la fecha y hora de paso por el perihelio.

Sabiendo de una forma u otra los valores del paso por perihelio y equinoccio de marzo en nuestras unidades de dias del año 2009, se puede calcular EDT directamente.

Para calcular sus componentes, EIE y EEX, además del ya introducido Sol Ecuatorial Medio, ECUA, que se mueve a ritmo constante sobre el ecuador celeste, debemos introducir otro punto ficticio: el Sol Eclíptico Medio, en adelante ECLI.

Visto desde el sistema orbital, ECLI es equivalente al punto M de la anomalía media, se desplaza a ritmo constante (sobre el círculo rojo de la Figura 3), a la velocidad media del Sol, coincidiendo con este en el afelio y en el perihelio, y completando una vuelta en un año sidéreo. Visto desde el sistema equinoccial, ECLI marcha al mismo ritmo constante sobre la eclíptica con que ECUA marcha sobre el ecuador, coincide con ECUA en los dos equinoccios, y completa una vuelta en un año trópico. Al igual que ECUA va asociado al tiempo solar medio, a ECLI se le puede asociar un tiempo solar eclíptico, y poner

EDT = tiempo solar verdadero - tiempo solar medio =
= tiempo solar verdadero - tiempo solar medio + tiempo solar eclíptico - tiempo solar eclíptico =
= (tiempo solar eclíptico - tiempo solar medio ) + ( tiempo solar verdadero - tiempo solar eclíptico) =
= EIE + EEX

Si el Sol tuviese una órbita circular, de excentricidad nula, el Sol coincidiría con ECLI. Por eso la diferencia entre el Sol y ECLI, vista desde el geocéntrico sistema equinoccial, es lo que denominamos ecuación de excentricidad o del centro, EEX. Se debe en efecto a la excentricidad de la órbita, y se anularía si la órbita fuese circular, pero no obstante en el valor y forma de EEX influye también la inclinación de la eclíptica, y el "desfase" entre el paso por el perihelio y por el equinoccio de marzo.

La ecuación de la inclinación de la eclíptica, EIE, corresponde a la diferencia entre las posiciones de ECLI y ECUA. Sería la única a considerar si la órbita fuese circular pues entonces ECLI coincidiría con el Sol.

Los ángulos recorridos por ECUA y ECLI son proporcionales al tiempo, con frecuencias angulares conocidas. En el sistema equinoccial el ángulo de ECUA varía con una frecuencia angular ligada a la duración del año trópico. En el sistema orbital el ángulo de ECLI (la anomalía media) varía con una frecuencia angular ligada a la duración del año sidéreo. E incluso es posible tener en cuenta la lenta precesión de los equinoccios para el paso de las anomalías (media para ECLI, o verdadera para el Sol) en el sistema orbital a las longitudes eclípticas (de ECLI y el Sol) en el sistema equinoccial, paso previo a la obtención de las ascensiones rectas.

En el momento del equinoccio de marzo el Sol pasa por el punto de Aries antes de que lleguen a coincidir allí ECUA y ECLI. Va por delante de ECUA, y EDT es negativa. Además, como se aprecia en la Gráfica 1, EIE aún no se anula, pues tanto ECLI como ECUA aún no han llegado al punto de Aries, donde coincidirán (haciendo EIE=0) un poco después.

En la Figura 5 se recoge gráficamente (de una forma no realista del todo) la situación de todos nuestros puntos de interes unos días después del equinoccio de marzo. EEX es proporcional al ángulo desde Sol2 hasta ECLI2, EIE es proporcional al ángulo desde ECLI2 hasta ECUA, y EDT es proporcional al ángulo desde Sol2 hasta ECUA (suma de los dos anteriores). Los ángulos y sus tiempos son positivos si van en el sentido de giro terrestre y traslación de ECUA, es decir, si los puntos "desde" van posicionalmente por detrás de los puntos "hasta".


El Sol (su proyección Sol2) aún va por delante de ECUA, sigue siendo negativa EDT. También va por delante de ECLI ( Sol2 delante de ECLI2), luego EEX también es negativa (más negativa que EDT). Sin embargo ECLI (ECLI2) va por detrás de ECUA, retrasandose cada vez más en ese primer tramo tras pasar el punto de Aries, lo que implica que EIE es positiva y creciendo. La variación de las curvas de la Gráfica 1 se pueden relacionar así con el movimiento del Sol, ECUA y ECLI, ilustrado en la Figura 5.

Herramientas

Para confeccionar esta "pequeña" entrada del blog me he servido de varias herramientas a las que deseo presentar mis agradecimientos:
♦ Octave como herramienta para calcular y presentar las Gráficas
♦ Winplot como herramienta de construcción de las Figuras
♦ Lightscreen como capturador de pantalla para obtener los ficheros png de gráficas y figuras
♦ innumerables sitios web, como wikipedia Es, wikipedia En, giss.nasa, usno, jpl.nasa, DRAE, editor online de ecuaciones latex, ...
♦ el magnífico Curso de Astronomía General, editorial Mir, de P.I. Bakulin, E. V. Kononóvich y V.I. Moroz, traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas, donde se describen nuestros imaginarios soles (ecuatorial y eclíptico) medios, aunque el convenio para la ecuación del tiempo tiene el signo cambiado respecto al elegido aquí.

En este enlace pueden encontrarse con la extensión .txt los ficheros de Octave para generar las Gráficas, que hacen uso de ecuTiempo.txt, con las funciones Octave que implementan la solución de los dos problemas, así como imagenes .png de las Gráficas y Figuras. No hay ninguna garantía de que algo de todo esto sea correcto y exento de errores (Disclaimer total :-), pero me ha entretenido lo suyo.
 
Publicado por Javier en miércoles, noviembre 25, 2009   
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