Números, números, números

¿Por qué las margaritas tienen generalmente 34, 55 u 89 pétalos? ¿Por qué las piñas tienen 8 diagonales en un sentido y 13 en el otro? ¿Por qué en el girasol de la foto se pueden contar 21 espirales en un sentido y 34 en el otro?

Todos los números arriba mencionados forman parte de la sucesión de Fibonacci, llamada así en honor al matemático italiano que la estudió por primera vez en 1202.

La sucesión de Fibonacci se obtiene de la siguiente manera:

fn = fn - 1 + fn - 2    para n >= 3

En otras palabras, cada término es igual a la suma de los dos anteriores: 2=1+1; 3= 1+2; 5=2+3; 8=3+5; 13=5+8=; 21=8+13...

Los números de Fibonacci son, por tanto: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584...

Los números de Fibonacci poseen varias propiedades. Quizás una de las más curiosas, es que el cociente de dos números consecutivos de la serie se aproxima al número de oro. Esto es: an+1/an tiende a (1 + raíz cuadrada de 5)/2

¿Un número... dorado?

El número de oro se conoce también como "razón dorada", "sección áurea", "razón áurea" y "divina proporción", como la llamaron los renacentistas. Tiene un valor de (1+ raíz de5)/2, es decir, 1.61803, y se nombra con la letra griega Phi. El número áureo fascinó como ideal de belleza a griegos y renacentistas, quienes lo utilizaron en matemática, arte, arquitectura…

La sucesión formada por los cocientes (resultados de la división) de números de Fibonacci consecutivos converge, rápidamente, hacia el número áureo.

Cociente	Diferencia en valor absoluto con phi
f 2 / f 1 = 1	0,61803398 ...
f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2	0,38196601 ...
f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1,5	0,11803398 ...
f 5 / f4 = 5 / 3 = 1, 66666666 ...	0,04863267 ...
f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1,6	0,01803398 ...
f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 625	0,00696601 ...
f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1,61538461...	0,00264937 ...
f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1,61904776 ...	0,00101363 ...
f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1,61764705 ...	0,00038692 ...

 

¿Cómo se presentan los números de Fibonacci en la naturaleza?

En muchos ejemplos de naturaleza, nos encontramos con los números de Fibonacci. Uno de ellos es la forma en que se ordenan las semillas en el girasol de la fotografía. Si cuentas bien los espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda, verás que hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro: ambos son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci.

También podremos observar los números de Fibonacci en el estudio de poblaciones idealizadas de conejos (el ejemplo inicial que usó Fibonacci), vacas y abejas; en el número de espirales que forman los granos de frutos como las piñas de pino; en el ordenamiento de las hojas en una rama.

La razón por la que los números de Fibonacci pueden encontrarse en tantos ejemplos de la naturaleza, se relaciona estrechamente con el nexo que existe entre esta sucesión y el número áureo. Como lo explica el profesor y matemático inglés, Dr. Ron Knott (Universidad de Surrey, Reino Unido):

"¿Por qué encontramos el número Phi tantas veces, al estudiar el crecimiento de las plantas? La respuesta está en los empaques (packings): encontrar la mejor manera de ordenar los objetos para minimizar espacio perdido. Si te preguntaran cuál es la mejor forma de empacar objetos, seguramente responderías que depende de la forma de los objetos, ya que los objetos cuadrados quedarían mejor en estructuras cuadradas, mientras que los redondos se ordenan mejor en una estructura hexagonal. (…) Pero, ¿cómo ordenar las hojas alrededor de un tallo, o las semillas en una flor, cuando ambas siguen creciendo? Al parecer, la Naturaleza usa el mismo patrón para disponer las semillas en una flor, los pétalos en sus bordes, y el lugar de las hojas en un tallo. Aún más, todos estos ordenamientos siguen siendo eficaces a medida que la planta crece. Este patrón corresponde a un ángulo de rotación a partir del punto central, mediante el cual los nuevos elementos (hojas, pétalos) se van organizando a medida que crecen".

"Los botánicos han demostrado que las plantas crecen a partir de un pequeño grupo de células situado en la punta de cada sección que crece: ramas, brotes, pétalos y otras. Este grupo se llama meristema. Las células crecen y se ordenan en espiral: cada una se "dirige" a una dirección manteniendo un cierto ángulo en relación al punto central. Lo asombroso es que un solo ángulo puede producir el diseño de organización óptimo, sin que importe cuánto más va a crecer la planta. De modo que, por ejemplo, una hoja situada en el inicio de un tallo será tapada lo menos posible por las que crecen después, y recibirá la necesaria cantidad de luz solar. Y ese ángulo de rotación corresponde a una fracción decimal del número áureo: 0.618034".

 

http://www.explora.cl/otros/metro/fibonacci.html