Cominciò l'attività giornalistica in giovane età. A 22 anni lavorò alla BBC. In seguito, alternò collaborazioni con televisione e carta stampata: lavorò a il Messaggero, L'Espresso e Il Giorno come inviato speciale in Africa ed Estremo Oriente. Nel 1968 la RAI decise di trasmettere un telegiornale anche all'ora di pranzo: fu Barbato il primo a condurlo. In seguito, collaborò con il settimanale televisivo Tv7, in onda su Rai Uno. Nella notte tra il 20 luglio e il 21 luglio 1969 fu tra i commentatori della diretta dello sbarco sulla Luna,. Quando la RAI decise di costituire un secondo canale, fu ancora lui il prescelto a tenerne a battesimo il telegiornale. All'epoca Barbato apparteneva al Partito Socialista Italiano, Nel 1971 cominciò a lavorare per la Stampa; successivamente, divenne vice-direttore de la Repubblica. Fu direttore del Tg2,  dal 1976 e di Paese Sera dal 1982 al 1983. Nel 1983 venne eletto alla Camera dei deputati, aderendo al gruppo parlamentare della Sinistra Indipendente. Nel 1987 rientrò in RAI, dove realizzò celebri programmi, soprattutto per Rai 3: tra gli altri Cartolina, Italiani e Va' pensiero. Fu anche autore televisivo, teatrale e sceneggiatore (ad esempio, lo sceneggiato "Caravaggio") e scrisse diversi libri. Dal 1989 condusse la trasmissione Cartolina, chiusa circa cinque anni dopo. È stato sposato in seconde nozze con l'attrice Ivana Monti, da cui ha avuto il figlio Tommaso nato nel 1989. Ha avuto un figlio anche dal precedente matrimonio. Si spense il 12 febbraio 1996 al Policlinico Umberto I di Roma, in seguito a complicazioni sopravvenute dopo un'operazione subita dieci giorni prima per una malformazione all'aorta addominale.