Los Derechos Humanos en Cuba "empeoraron" este año y seguirán igual en 2010

Una de las preguntas más comunes que los lectores de este archivo hacen es: ¿Quién descubrió el cero? ¿Por qué entonces no hemos escribo un artículo como este en los inicios del archivo? La razón es, básicamente, debido a la dificultad de contestar a la pregunta de una forma satisfactoria. Si alguien tuvo por primera vez la idea del cero, la cual todo el mundo vio como una brillante innovación a introducir en las matemáticas a partir de ese momento, la pregunta tendría una respuesta satisfactoria incluso si no conociésemos el genio que lo inventó. Los registros históricos, sin embargo, muestran unas vías bastante distintas hacia dicho concepto. El cero hace apariciones fantasmales solo para desvanecerse de nuevo casi como si un matemático estuviese buscándolo pero no reconociese su significado fundamental incluso aún viéndolo.

Lo primero que hay que decir sobre el cero es que hay dos usos para el cero, ambos extremadamente importantes, pero algo distintos. Un uso es como indicador de lugar vacío en nuestro sistema numérico de valor por posición. Así pues, en un número como 2106, el cero es usado para que las posiciones del 2 y del 1 sean correctas. Claramente 216 significa algo bastante distinto. El segundo uso del cero es como un número en sí mismo, en la forma que lo usamos como 0. Hay también otros aspectos distintos del cero en estos dos usos, a saber, el concepto, la notación y el nombre. (Nuestro nombre “cero” deriva del árabe sifr el cual también nos da la palabra 'cifra'.)

Ninguno de los usos de arriba tienen una fácil descripción histórica. No sucedió que alguien inventó las ideas y entonces todo el mundo comenzó a usarlos. También es justo decir que el número cero está lejos de ser un concepto intuitivo. Los problemas matemáticos comenzaron como problemas “reales” más que como problemas abstractos. Los números en los primeros momentos de la historia eran concebidos de una forma mucho más concreta que los abstractos conceptos que son nuestros números de hoy. Hay un salto mental gigantesco de 5 caballos a 5 “cosas” y de ahí a la idea abstracta de “cinco”. Si los antiguos resolvían un problema sobre cuántos caballos necesitaba un granjero el problema no iba a tener un resultado de 0 o -23 como respuesta.

Se podría pensar que una vez que aparece un sistema numérico de valor por posición entonces el 0 como indicador de posición vacía es una idea necesaria, aunque los babilonios tuvieron un sistema numérico de valor por posición sin esta característica durante 1000 años. Además no hay ninguna evidencia de que los babilonios sintiesen que había algún problema con la ambigüedad que existía. Extraordinariamente, sobrevivieron textos originales de la época de los matemáticos babilonios. Los babilonios escribían en tablas de arcilla sin cocer, usando escritura cuneiforme. Los símbolos se escribían en las tablas de arcilla blanda con el afilado ángulo de una aguja y por esto tienen una forma de cuña (de aquí el nombre de cuneiforme). Sobreviven muchas tablas de alrededor del año 1700 a. C. y podemos leer los textos originales. Por supuesto su notación numérica era bastante distinta de la nuestra (y no en base 10 sino en base 60) pero la traducción a nuestro sistema de notación no distinguiría entre el 2106 y el 216 (el contexto tendría que mostrar a qué nos referimos). No fue hasta alrededor del 400 a. C. que los babilonios colocaron dos símbolos de cuña en el lugar dónde pondríamos nuestro cero para indicar si significa 216 o 21”6.

Las dos cuñas no fue la única notación que usaron; de hecho, en una tabla encontrada en Kish, una antigua ciudad de Mesopotamia situada al Este de Babilonia en lo que hoy sería la parte centro-sur de Irak, se usó una notación distinta. Esta tabla, que se piensa que data del 700 a. C., usa tres ganchos para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Otras tablas que datan más o menos de la misma época usan un solo gancho para un lugar vacío. Esta es una característica común para este de uso diferentes marcas para denotar una posición vacía. Es un hecho que nunca tuvo lugar al final de los dígitos sino siempre entre dos de ellos. Por lo que, aunque encontramos 21”6, nunca encontramos 216”. Se debe suponer que los antiguos sentían que el contexto era suficiente para indicar lo que se pretendía aún en estos casos.

Si la referencia al contexto te parece absurda, entonces es necesario hacer notar que nosotros aún usamos el contexto para interpretar los números hoy. Si tomas el autobús a una ciudad cercana y preguntas cuánto cuesta, si la respuesta es 'Son tres cincuenta' significa 3 libras y cincuenta peniques. Si la misma respuesta se da para una pregunta sobre el precio de un vuelo de Edimburgo a Nueva York entonces sé que lo que se intenta decir son trescientas cincuenta libras.

Podemos ver de esto que el primer uso del cero para denotar un espacio vacío no es en realidad un uso del cero como número después de todo, sino meramente el uso de algún tipo de signo de puntuación para que los números tengan una interpretación correcta.

Los antiguos griegos comenzaron sus contribuciones a las matemáticas sobre la época en la que el cero como indicador de posición vacía empezaba a usarse por los matemáticos babilonios. Los griegos sin embargo no adoptaron un sistema numérico posicional. Merece la pena pensar lo significativo que es este hecho. ¿Cómo podían con los brillantes avances matemáticos de los griegos no verlos adoptar un sistema numérico con las ventajas del sistema de valor por posición que poseían los babilonios? La verdadera respuesta a esta pregunta es más sutil que la simple respuesta que vamos a dar, pero básicamente los logros matemáticos griegos estaban basados en la geometría. Aunque el Elementos de Euclides contenía un libro sobre Teoría Numérica, este estaba basado en la geometría. En otras palabras, los matemáticos griegos no necesitaban nombrar los números dado que trabajaban con números como longitudes de una línea. Los números que requerían ser nombrados eran usados por los mercaderes, no los matemáticos, y de aquí que no necesitasen una notación clara.

Aunque existieron excepciones a lo que hemos afirmado. Las excepciones fueron los matemáticos que estaban involucrados en el registro de datos astronómicos. Aquí encontramos el primer uso del símbolo que hoy reconocemos para el cero, los astrónomos griegos comenzaron a usar el símbolo O. Hay muchas teorías acerca de por qué se usó este símbolo en particular. Algunos historiadores están a favor de la explicación de que es omicrón, la primera letra de la palabra griega para nada, es decir “ouden”. Neugebauer, sin embargo, descarta esta explicación dado que los griegos ya usaban omicrón como un número – representaba el 70 (el sistema numérico de los griegos estaba basado en su alfabeto). Otra explicación ofrecida incluye el hecho de que significa “obol”, una moneda sin casi valor, y que surge cuando se usaban fichas para contar en una tabla de arena. La sugerencia aquí es que cuando se eliminaba una ficha para dejar una columna vacía el hueco en la arena parecía un O.

Ptolomeo en el Almagest, escrito alrededor del 130 D.C., usó el sistema babilonico sexagesimal junto con el parámetro de vacío O. En esta época Ptolomeo usaba el símbolo tanto entre dígitos como al final del número y uno estaría tentado a creer que al menos el cero como parámetro vacío se había establecido con firmeza. Esto, sin embargo, está lejos de lo que sucedió. Solo unos pocos astrónomos excepcionales usaron la notación y cayeron en desuso varias veces antes de establecerse finalmente. La idea del lugar cero (ciertamente no concebido como un número por Ptolomeo quien aún lo consideraba un signo de puntuación) hace su siguiente aparición entre los matemáticos indios.

La escena ahora se mueve a la India donde es junto decir que nacieron los números y los sistemas numéricos, los cuales evolucionaron en los sistemas altamente sofisticados que usamos hoy. Por supuesto, no hace falta decir que el sistema indio debía algo a los sistemas previos y muchos de los historiadores de las matemáticas creen que el uso indio del cero evolucionó del usado por los astrónomos griegos. Así como algunos historiadores parecen querer quitar importancia a la contribución de los indios de una forma poco razonable, hay también quienes afirman que los indios inventaron el cero, lo que me parece ir demasiado lejos. Por ejemplo Mukherjee en [6] afirma:-

... el concepto matemático del cero ... estaba presente también en la forma espiritual desde hace 17 000 años en la India.

Lo cierto es que alrededor del año 650 d. C. el uso del cero entró en la matemática india. Los indios usaron también un sistema de valor por posición y el cero se usaba para denotar un lugar vacío. De hecho, hay evidencias de un parámetro de lugar vacío en números posicionales desde tan pronto como el 200 d. C. en la India pero algunos historiadores rechazan estas como falsificaciones posteriores. Vamos a examinar este último uso primero ya que a partir de aquí continua el desarrollo descrito arriba.

Alrededor del 500 d. C. Aryabhata ideó un sistema numérico que no tenía aún el cero y que era un sistema posicional. Usó la palabra 'kha' para la posición y sería usado más tarde como nombre para el cero. Hay pruebas de que se había usado el punto en los primeros manuscritos indios para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Es interesante que los mismo documentos a veces también usan un punto para denotar algo desconocido donde nosotros usaríamos x. Posteriores matemáticos indios han nombrado el cero en números posicionales pero aún no tenían un símbolo para el mismo. El primero registro del uso indio del cero datado y sobre el que todos están de acuerdo en que es genuino fue escrito en el año 876.

Tenemos una inscripción en una tabla de piedra la cual contiene una fecha que se traduce por 876. La inscripción concierne a la ciudad de Gwalior, 400 km al Sur de Delhi, donde se plantaron unos jardines de 187 por 270 hastas^* el cual podría producir suficientes flores para permitir que se dieran 50 guirnaldas al día a los empleados del templo local. Ambos números, 270 y 50 están anotados casi como los de hoy aunque el 0 es menor y ligeramente elevado.

Podemos considerar ahora la primera aparición del cero como número. Déjanos primero apuntar que este no es un candidato natural para número en cierto sentido. Desde los inicios, los números son palabras para referirnos a colecciones de objetos. Ciertamente la idea de número se convierte en más y más abstracta y esta abstracción hace posible la consideración del cero y de los números negativos, los cuales no habían surgido como propiedades de las colecciones de objetos. Por supuesto el problema que surge cuando se intenta considerar el cero y los números negativos es cómo interactúan respecto a las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). En tres importantes libros, los matemáticos indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara intentaron dar respuesta a estas preguntas.

Brahmagupta intentó dar las reglas para la aritmética teniendo en cuenta el cero y los números negativos en el siglo séptimo. Explicó que, dado un número, si lo restas a sí mismo obtienes el cero. Dio las siguientes reglas para la suma que implicaban al cero:-

La suma de cero y un número negativo, es negativo, la suma de un número positivo y cero es positivo, la suma de cero y cero es cero.

La resta es un poco más compleja:-

Un número negativo restado de cero es positivo, un número positivo restado de cero es negativo, cero restado de un número negativo es negativo, cero restado de un número positivo es positivo, cero restado de cero es cero.

Brahmagupta entonces dice que cualquier número multiplicado por cero es cero pero tiene una dificultad con la división:-

Un número positivo o negativo cuando es dividido por cero es una fracción con cero como denominador. Cero dividido por un número positivo o negativo es o cero o expresado como fracción el cero como numerador y una cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En verdad Brahmagupta está diciendo muy poco cuando sugiere que n dividido por 0 es n/0. Claramente tiene un problema con esto. Ciertamente está equivocado cuando afirma que cero dividido por cero es cero. Sin embargo es un intento brillante por parte de la primera persona que sabemos que intentó extender la aritmética a los números negativos y el cero.

En 830, alrededor de 200 años después de que Brahmagupta escribiese su obra maestra, Mahavira escribió Ganita Sara Samgraha que fue diseñado como una actualización del libro de Brahmagupta. Afirma correctamente que:-
... un número multiplicado por cero es cero, y un número permanece igual si se le resta cero.

Sin embargo sus intentos de mejorar las afirmaciones de Brahmagupta sobre la división por cero parecen llevarle al error. Escribe:-

Un número permanece sin cambio cuando es dividido por cero.

Dado que esto es claramente incorrecto, mi uso de las palabras “parecen llevarle al error” podrían parecer confusas. La razón de esta frase es que algunos comentarios sobre Mahavira han intentado encontrar excusas para esta afirmación incorrecta.

Bhaskara escribió unos 500 años después de Brahmagupta. A pesar del paso del tiempo aún sigue con problemas para explicar la división por cero. Escribe:-

Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracción cuyo denominador es igual a cero. Esta fracción tiene como valor una cantidad infinita. En esta cantidad en la cual cero es el divisor, no hay alteración aunque se sumen o se resten muchos; así como no tuvieron lugar cambios en el infinito e inmutable Dios cuando se crean o se destruyen los mundos, aunque numerosos órdenes de seres sean absorbidos o creados.

Por tanto, Bhaskara intentó resolver el problema escribiendo que n/0 = ∞. A primera vista podríamos estar tentados a pensar que Bhaskara estaba en lo cierto, pero por supuesto no lo estaba. Si fuese cierto, entonces 0 veces ∞ debe ser igual a cada número n, por tanto todos los número son iguales. Los matemáticos indios no podían llegar al punto de admitir que no se puede dividir por cero. Bhaskara hizo otra afirmación correcta sobre las propiedades del cero, no obstante, como que 0² = 0 y que √0 = 0.




Tal vez deberíamos hacer notar en este punto que hubo otra civilización que desarrolló un sistema numérico de valor por posición con el cero. Fueron los Mayas, que vivieron en América Central, ocupando el área que hoy es el Sur de México, Guatemala, el norte de Belize y partes de Honduras y El Salvador. Esta fue una antigua civilización que floreció particularmente entre el 250 y 900. Sabemos que sobre el 665 usaron un sistema numérico de valor por posición de base 20 con un símbolo para el cero. Sin embargo, su uso del cero iba más allá de esto y estaba en uso antes de que lo introdujesen en el sistema numérico de valor por posición. Esto es un notable éxito pero desgraciadamente no influenció a otras culturas.



El brillante trabajo de los matemáticos indios fue transmitido a los matemáticos árabes e islámicos del lejano occidente. Llegó una primera etapa donde al-Khwarizmi escribió Al'Khwarizmi en el arte Hindú del Cálculo en cual describe el sistema numérico indio de valor por posición de cifras basado en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 0. Este trabajo fue el primero en lo que ahora es Irak en usar el cero como marcador de posición en una notación de base posicional. Ibn Ezra, en el siglo XII, escribió tres tratados sobre números que ayudaron a traer los símbolos e ideas indias de las fracciones decimales a la atención de algunos de los estudiantes europeos. El Libro de los Números describe el sistema decimal para enteros con valores de posición de izquierda a derecha. En este trabajo ibn Ezra usa el cero, al que llama galgal (significa rueda o círculo).

Los numerales del tratado de al-Sizji, del 969

Una de las preguntas más comunes que los lectores de este archivo hacen es: ¿Quién descubrió el cero? ¿Por qué entonces no hemos escribo un artículo como este en los inicios del archivo? La razón es, básicamente, debido a la dificultad de contestar a la pregunta de una forma satisfactoria. Si alguien tuvo por primera vez la idea del cero, la cual todo el mundo vio como una brillante innovación a introducir en las matemáticas a partir de ese momento, la pregunta tendría una respuesta satisfactoria incluso si no conociésemos el genio que lo inventó. Los registros históricos, sin embargo, muestran unas vías bastante distintas hacia dicho concepto. El cero hace apariciones fantasmales solo para desvanecerse de nuevo casi como si un matemático estuviese buscándolo pero no reconociese su significado fundamental incluso aún viéndolo