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MATEMATICAS: OCTOGONO
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Reply  Message 1 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999  (Original message) Sent: 15/02/2013 03:35

Octógono

De Wikipedia, la enciclopedia libre
 
Un octógono irregular

Octógono u octágono (el DRAE reconoce la validez de ambas formas, pero prefiere "octógono")[1] es una figura plana con ocho lados y ocho vértices.

[editar] Características

Un octógono tiene 20 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, D=n(n-3)/2; siendo el número de lados n=8, tenemos:

D=frac{8(8-3)}{2}=20

La suma de todos los ángulos internos de cualquier octógono es 1080 grados ó 6pi radianes.

[editar] Octógono regular

Octógono regular
Construcción de un octógono regular con regla y compás

En un polígono regular de ocho lados (octógono regular) sus lados y ángulos son iguales (congruentes) y los lados se unen formando un ángulo de 135º ó 3pi/4 rad. Cada ángulo externo del octógono regular mide 45º ó pi/4 rad.

Para obtener el perímetro P de un octógono regular, multiplíquese la longitud t de uno de sus lados por ocho (el número de lados n del polígono).

P = ncdot t = 8 t

pero si solo se conoce la longitud del apotema del polígono,a, el valor del perímetro será:

P = 16 a(sqrt{2} - 1)

El área A de un octógono regular de lado t se calcula mediante la fórmula:

A = frac{8t^2}{4 tan(frac{pi}{8})}simeq 4,8284 t^2

donde pi es la constante pi y tan es la función tangente calculada en radianes.

Si se conoce la longitud del apotema a del polígono, una alternativa para calcular el área es:

A = frac{Pcdot a}{2} = frac{8tcdot a}{2} = 4(t cdot a)

Si sólo conocemos el lado t, podemos calcular el área con la siguiente fórmula:

A = 2t^2 (1+ sqrt{2})

[editar] Véase también

[editar] Notas

[editar] Enlaces externos

 
http://es.wikipedia.org/wiki/Oct%C3%B3gono

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Reply  Message 3 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 15/02/2013 03:42

Reply  Message 4 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 15/02/2013 03:44

Reply  Message 5 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 15/02/2013 03:50
POLÍGONOS:  POLÍGONOS REGULARES y POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.    

 

Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos.

viñeta

Cada uno de los segmentos se denomina lado.

viñeta

El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo.

viñeta

El numero de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser  mayor o igual a tres.

 
Polígono cruzado: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante.

 

Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo.

Polígono regular. Si tiene lados y ángulos iguales.

El representado a la derecha es polígono equilátero,(lados iguales) pero no es regular (ángulos no iguales)

Cruzado Reg Estrellado 9/2 Convexo No convexo (cóncavo) Regular convexo  Regular estrellado 5/2 No regular
 

Algunas propiedades de los polígonos:

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).   En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.    Número de diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es Dn = n (n-3)/2  

 

 

 

 

Polígonos regulares:  convexos y estrellados.

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.

Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.

En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular.

Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita.

Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

En un polígono regular de n lados:

Angulo central =360/n

Angulo interior = 180 - 360/n

Área = Perímetro x Apotema /2;   A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos  de base L y altura a

(L/2)2 + a2 = r2  por ser triangulo rectángulo L/2, r y a

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.

No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden construirse de forma exacta. 

Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción.

 

N=3

Triangulo Equilátero

N= 4

 

Cuadrado        

 .

N=5

Pentágono Regular

N=6

Hexágono Regular

N=8

Octógono Regular.

N=10

Decágono Regular

N=15

Pentadecágono Regular

N=17

Heptadecágono Regular

 

viñeta

Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado.

viñeta

Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices correspondientes.

Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección:  6, 8, 10, 12,...  lados.

Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados esto es, de lados  N=3 (n=0), N=5 (n=1), N=17 (n=2), N=257 (n=3), N=65537 (n=4).

 

 También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos  habían fracasado.

En algunos textos y páginas de Internet es fácil encontrar la construcción de alguno de estos, que  es aproximada, aunque a veces no se indique con claridad.

 

 
Construcciones aproximadas de los polígonos regulares de 7 y 9 lados.

En la imagen ampliada se observa la aproximación.

 

 
A la derecha se muestra ampliado 10 veces, las inmediaciones del vértice A.  
 

Existen procedimientos para construir de forma aproximada polígonos de numero de lados cualesquiera, que suelen tratarse en temas de dibujo técnico.

 

POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.

También son, de acuerdo a la definición polígonos regulares, los estrellados. Estos, se obtienen a partir del regular convexo, uniendo vértices  no consecutivos, recorriendo todos los vértices de forma continua.

No debemos confundir los polígonos estrellados con las estrellas.

La figura de la izquierda representa el polígono estrellado 8/3, octógono estrellado. La imagen de la derecha son dos cuadrados, girado uno respecto al otro 45º.

OCTÓGONO  ESTRELLADO 8/3   ESTRELLA FORMADA POR  DOS CUADRADOS.

 

 

Un polígono estrellado N/M se construye a partir del polígono regular N uniendo puntos de M en M.

En el ejemplo uniendo los vértices del octógono regular de tres en tres.

Pinchando en el dibujo se accede a un applet que genera algunos polígonos regulares estrellados y algunas propiedades de estos.

 

  También puede formarse esta composición sobre un octógono regular. Pero la figura anterior no es un polígono, si no dos. Son dos líneas poligonales independientes.

Los polígonos regulares convexos, son un caso particular de polígonos regulares estrellados.

 

Ejercicios:

1.- ¿Cual es la suma de los ángulos interiores de un decágono?

2.- ¿Que Polígono regular tiene ángulo central  45º?

3.- ¿Cuantas diagonales tiene un dodecágono?

4.- ¿Cuanto vale el ángulo interior de un eneágono regular?

 

PAGINAS CON INFORMACIÓN SOBRE POLÍGONOS

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Poligonos_regulares_y_circulos/Policir1.htm Con Descartes.

 

Paginas sobre Gauss

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/sigloxix/Carl%20Friedrich%20Gauss.htm de la Página de Antonio Pérez.

http://www.geocities.com/grandesmatematicos/cap14.html Página Los Grandes Matemáticos.

 

http://roble.pntic.mec.es/jarran2/cabriweb/Poligonos.htm


Reply  Message 6 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 17/02/2013 03:34
 
No es mi teoria, simplemente expuse las coincidencias de las tablillas Sumerias con el retorno de los Dioses, la misma Luna que podemos ver debajo de las Virgenes, la misma de la sonrisa del Gato anillado de Alicia en el pais de las maravillas, la misma pero invertida de los oscuros Masones Shriners, etc.
La Luna es la Moon-mon-key y respondo tambien la ultima pregunta, o sea Luna, mono, llave.
Mono =1 simbolo de singularidad o sea se corta la polaridad de nuestra realidad gravitacional, codigos de Dali, etc. la Luna tiene una orbita con variacion de 5 grados a la Tierra, se cruzan en los nodulos, antiguamente se los conocia como la cabeza y la cola del dragon, lo cual nos da el indicion del vinculo orbital Lunar con la constelacion del Draco como eje. La Tierra tiene como eje a Polaris en la constelacion de la Osa Menor ( Gominola )por ello todo el cielo gira entorno a ella.
Esto esta detallado en los ultimos diagramas, las orbitas caos orden se cruzan en el grado 33, por las razones matematicas geometricas expuestas, muy simples por cierto.
4/3 que es lo mismo que 8/6, o sea el octogono del orden sobre el hexagono del caos = 1,33333
El hexagono en 3d corresponde al rombo dodecahedro que a su vez contiene la estrella de David, recordemos el codigo del panal y la granada.
Ademas en los diagramas pueden apreciar como la Casa Blanca fue situada en el eje de la constelacion del Dragon con la clave 23 grados Virgo Caput Draconis como señala David Ovason, alli veremos tambien el corte nodular de las orbitas entre el caos y el orden.
Hemos publicado abundante informacion sobre la variacion actual de la orbita de la Luna, estudios cientificos de Universidades, etc, el eje esta cambiando, pero esto es un proceso gradual que ha llamado la atencion de la gente que observa regularmente la Luna, lo mismo esta pasando con la Tierra, los Inuit y la gente que vive en torno a la naturaleza ha notado este cambio.
Siguiendo el hilo de Sandman/Sandy Hook tenemos la cancion de Metalica Enter Sandman conectada con el dragon/serpiente.


Click para ampliar



ENTER SANDMAN (EN ESPAÑOL)



di tus oraciones, pequeño
no olvides, hijo mio
incluirlos a todos

te arroparé, te mantendré tibio
te mantendré libre de pecado
mientras llega el hombre de los sueños

duerme con un ojo abierto
abrazando bien tu almohada

vete, luz
entra, noche
toma mi mano
hacia la tierra de nunca jamás

algo está mal, apaga la luz
pensamientos pesados esta noche
y no serán de blanca nieves

sueños de guerra, sueños de mentiras
sueños del fuego del dragón
y de cosas que muerden

duerme con un ojo abierto
abrazando bien tu almohada

vete, luz
entra, noche
toma mi mano
hacia la tierra de nunca jamás

ahora que voy a dormir
le rezo al señor que resguarde mi alma
si muero antes de despertar
rezo al señor por que tome mi alma

ya, pequeño, no digas una palabra
y no te preocupes por el ruido que escuchaste
es sólo la bestia bajo tu cama
en tu clóset, en tu cabeza

vete, luz
entra, noche
grano de arena

vete, luz
entra, noche
toma mi mano
nos vamos a la tierra del nunca jamás


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Última edición por IndigoMerovingio; 20-dic-2012 a las 14:34
 

Reply  Message 7 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 17/02/2013 03:53
El caos como la oscuridad, o sea el hexagono, numero 6, los 60 grados, la estrella de David.
El octogono el orden, la luz, la nueva era dorada, la transmutacion de la oscuridad hacia la luz.
4/3 = 8/6 = 1,3333..


 

Reply  Message 8 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 17/02/2013 03:56
Gracias, pero no he dado una fecha especifica, la idea es que cada uno saque sus conclusiones en base a la informacion vertida.
El 21 de Diciembre coincide con el codigo de Jesus, su muerte y resurreccion 3 dias despues, el dia 24 o Navidad.
Sabemos que los Mayas conocian los codigos y sus calendarios eran muy exactos, si conocía la fecha con exactitud es un misterio.
Lo que he expuesto como mayor prueba de que estamos cerca de este acontecimiento es el componente magnetico del hipercubo a 60 grados, lo cual fue confirmado por el Voyager fuera del sistema solar, en realidad deberia ser inferior a 60, 59,9.. o simil ya que la forma hexagonal del hipercubo es incompatible con el fluido del tiempo, los cubos se fusionan al chocar el 9 y el 6, de 16 puntos de la matriz pasamos a 15, numero impar por lo tanto se pierde polaridad.
Por que 33, el misterioso numero? Simplemente por que 4/3 = 8/6 =1.33, 8 el octogono del orden conformado por 2 cubos sobre el hexagono como el caos.
El punto medio entre ambos simboliza el pasaje entre la muerte y la resurreccion, los 3 dias de noche, el sol negro, etc.


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El corte grafico 8/6 desde un extremo la singularidad del octogono en el centro de la galaxia a 33 grados y la componente medio de Virgo/Virgen a medio Piscis/Jesus desde la circunferencia exterior pasando por el centro.



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Las calles de Washington reflejan el octogono o la nueva era dorada.

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Fractales de tiempo del octogono regenerativo-24 horas del dia
8 octogono/33 = 0.242424
8 octogono/33.333..=0.2400024
800/33.333=24.00024
La lineas amarillas que alternan en 33 grados tienden y por lo tanto median hacia la semilla de la flor octogonal en verde del toro geometrico comprendido en el hipercubo.


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Reply  Message 9 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 18/02/2013 22:31

Reply  Message 10 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 18/02/2013 23:26

I have a problem for a 10th grader?

Question 1.
What is the probability of choosing the longest diagonal in an octagon?

Question 2.
Probability of choosing the shortest?

Thanks,
Glenn

 

 

Hi Glenn,

I am going to assume that you are dealing with a regular octagon.

First you need to know how many diagonals a regular octagon has and then how many have the longest length. Draw an octagon, select one vertex and construct each diagonal from this vertex.You will see there are 5 such diagonals.

Thus for each of the 8 vertices you can draw 5 diagonals and hence you have constructed 5  8 = 40 diagonals. But you have constructed each diagonal twice, once from each of its ends. Thus there are 20 diagonals in a regular octagon.

A look at the diagram above shows that one of the diagonals constructed is longer than the others. Thus you construct one long diagonal from each vertex, and hence 8 long diagonals. Again you have constructed each one twice so there are 4 long diagonals. Thus if you select one diagonal from all the diagonals in a regular octagon there are 4 chances in 20 that you will select one of the longest ones, and hence a probability of  4/20 = 1/5.

What about the shortest?

Andrei and Penny


Reply  Message 11 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 18/02/2013 23:28

The diagonals of a regular octagon with side length 'a'


Reply  Message 12 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 18/02/2013 23:31

Reply  Message 13 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 18/02/2013 23:32

The intersection of the diagonals, point I, is also the center of the incircle and circumcircle. Also, the diagonals divide the octagon into 8 equal isosceles triangles.

 

http://www.geometryatlas.com/entries/192


Reply  Message 14 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 18/02/2013 23:33

Reply  Message 15 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 18/02/2013 23:34

Reply  Message 16 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 18/02/2013 23:36

Reply  Message 17 of 17 on the subject 
From: BARILOCHENSE6999 Sent: 28/11/2013 15:29
 
PATRON DEL NUMERO OCHO EN EL DISEÑO DE LA GRAN PIRAMIDE-BASE=2 EN EL CUADRADO DE LA PIRAMIDE IDEAL
 

La Gran Pirámide de Keops: pi por la raíz de fi es casi cuatro

 
Cuaderno de bitácora: publicamos hoy otro de los artículos que en su día aparecieron en doDK. Este artículo fue escrito hace más de seis años. En él explico un descubrimiento que hice por mí mismo, una extraordinaria coincidencia que se da en las proporciones de la Pirámide de Keops y que implica, necesariamente, una no menos extraordinaria coincidencia entre dos de los números más conocidos de las matemáticas.
 
[Vista de las tres grandes pirámides de la planicie de Giza o Gizeh. No hay que confundirse: la pirámide de Keops, la Gran Pirámide, es la que está más a la derecha, más atrás en la foto. La del medio es la de Kefrén, la segunda en altura, aunque en la foto parece más alta por estar más cerca, y la tercera la de más a la izquierda, la de Micerinos. La pirámide de Kefrén es muy fácil de reconocer porque conserva en su parte superior algo del revestimiento original. Es muy frecuente que se hable de la Gran Pirámide de Keops y sin embargo en las imágenes, erróneamente, aparezca la pirámide de Kefrén, la más fotogénica de las tres]
 
La gran pirámide de la planicie de Gizeh, la conocida como pirámide de Keops, siempre ha sido una fuente de misterios, y la mayoría están aún por resolver. Sus medidas han sido estudiadas exhaustivamente por todos los inquietos de los enigmas antiguos, y con los datos obtenidos podemos afirmar que los Egipcios no construyeron la pirámide dándole unas medidas al azar, sino que sus proporciones mantienen unas relaciones matemáticas muy interesantes entre sí.
La gran pirámide medía originalmente 147 metros de altura, y el lado de la base tenía una longitud de 230 metros, aproximadamente. Hoy en día la pirámide es un poco más baja, porque a lo largo de los siglos y sobre todo en la Edad Media ha sido utilizada de cantera artificial. Las piedras de las que estaba compuesta se han ido partiendo y tallando en ladrillos más pequeños para servir de material a algunos monumentos levantados en el pasado en la ciudad de El Cairo. Así la pirámide, que en su origen tenía una superficie pulida y blanca y estaba rematada por una punta de oro, se puede contemplar hoy como cuando contemplamos una casa vieja y a punto de derrumbarse, en la que se ven los ladrillos porque la capa de yeso que recubría la pared se ha caído con el tiempo.
Hace ya muchos años descubrí en cierto libro que las proporciones de la pirámide guardaban una importante relación: cuatro veces el lado de la base dividido por dos veces la altura daba el número pi. Esto es lo mismo que decir que si tomamos la altura de la pirámide como radio de una circunferencia, la longitud de la circunferencia coincide con el perímetro de la base.
Si tomamos como datos los que hemos mencionado anteriormente, h = 147 metros, y b = 230 metros. Haciendo la cuenta, 4·b = 920, 2·h = 294, y dividiendo ambas cantidades obtenemos 3'1292517..., es decir, aproximadamente 3'13. Teniendo en cuenta que tanto la altura de la pirámide como el lado de la base se han tomado de forma aproximada, es normal esperar que el resultado no coincida exactamente con el número pi.
Si tomamos en cuenta unas medidas más exactas, como las que aparecen en el libro De las mentiras de la Egiptología a las Verdades de la Gran Pirámide, de Luis García Gallo, la altura sería de 146'7 metros y el lado de la base de 230'4 metros (aproximadamente). Volviendo a hacer los cálculos con estas dos nuevas aproximaciones tenemos que 4·b/(2·h) = 3'14110429... y aquí ya nos vamos aproximando más al número pi. De hecho el error es del orden de 0’016%.
El error es mínimo y totalmente admisible ya que en arquitectura, lo mismo que en todas las demás ciencias aplicadas, las medidas tienen un límite de precisión. De hecho, los cuatro lados de la base de la pirámide no miden exactamente lo mismo, sino que se diferencian en algunos centímetros. De la misma forma las desaparecidas Torres Gemelas no eran exactamente igual de altas, sino que una era un poco más alta (creo que como medio metro) que la otra. A todo esto hay que añadir los estragos del tiempo sobre los monumentos. Las medidas obtenidas son aproximadas sobre una estimación de lo que la pirámide medía cuando la construyeron, hace casi cinco mil años, porque ahora las medidas son muy distintas...
La relación entre b y h se puede expresar así:
Es decir, la proporción entre b y h es como la de pi a 2.
Consultando la página de matemáticas Epsilones descubrí algo nuevo para mí. Según el historiador Heródoto, los Egipcios construyeron la gran pirámide de tal forma que el área de cada una de las caras triangulares laterales coincidiera con el área de un cuadrado de lado igual a la altura.
Teniendo en cuenta lo que acabamos de decir, nos encontramos con las siguientes fórmulas:
Vamos a buscar la proporción entre a, b y h:
Dividimos por b cuadrado y consideramos a/b como una incógnita:
Hemos suprimido la solución negativa porque tanto a como b son números positivos (estamos tratando con longitudes de la pirámide).
De repente nos ha aparecido el número áureo, fi), un número no tan conocido como pi, pero muy importante en la historia de las matemáticas:
De aquí tenemos la relación entre a y b, y por ende entre b y h:
Con esto tenemos que la proporción entre a y b es como la de fi a 2, y la proporción entre b y h es como la de 2 a la raíz cuadrada de fi.
Resumiendo, si los Egipcios construyeron la pirámide con las proporciones mencionadas por el historiador Heródoto, entonces la pirámide de Gizeh es proporcional a una que tenga como altura de una de las caras laterales a fi y como lado de la base a 2:
Entonces surge la cuestión de si ambas propiedades de la pirámide son consistentes, la de pi y la de fi. ¿Cuál de las dos propiedades es la que guió a los constructores de la pirámide? ¿O los constructores quisieron incluir adrede ambas características en su diseño?
Supongamos que somos los constructores, y el faraón nos ordena que levantemos una pirámide en la que el perímetro de la base dividido entre dos veces la altura dé el número pi. Como ya conocemos el número pi, sólo tenemos que preguntarle al faraón la altura que quiere que tenga, y tras unos cálculos sencillos, obtenemos todas las dimensiones, el lado de la base, la longitud de las aristas, etc. Pero el faraón nos dice poco después que además quiere que el área de una de las caras laterales sea igual al área de un cuadrado de lado igual a la altura.
¿Pueden ser posibles ambas cosas? Nosotros ya hemos hecho los cálculos de todas las dimensiones y ya casi nos hemos puesto manos a la obra... Sólo podemos esperar que la suerte nos acompañe y que efectivamente y casi por casualidad se cumpla la segunda condición que nos pide nuestro rey.
¡Y la suerte está de nuestro lado!
Para que se cumpla la condición de pi, b y h tienen que estar en proporción de pi a 2. Para que se cumpla la condición de fi, b y h tienen que estar en proporción de 2 a raíz de fi. Si queremos que se cumplan las dos condiciones, ambas proporciones han de ser iguales:
Bueno, esto no es cierto exactamente, pero sí aproximadamente:
De hecho el error que se comete es menor al 0'1%. Eso quiere decir que con un error del 0'1% podemos construir una pirámide que cumpla las dos condiciones, guardando dentro de sus proporciones al número pi y al número fi. Y la pirámide de Keops es un ejemplo de ello.
Maravilloso, ¿verdad? Y todo porque pi por la raíz de fi es casi cuatro.
 
Notas: no fui el primero en descubrir esta coincidencia entre los números pi y fi. En el libro de Martin Gardner, Los Mágicos Números del Doctor Matrix, en el capítulo de las pirámides, se habla sobre la curiosa relación entre el número pi y el número fi que posibilita que la Gran Pirámide de Keops cumpla dos propiedades matemáticas diferentes. Sin embargo, honestamente, no leí ese contenido del libro hasta este mismo año pasado, 2009, seis años después de escribir este artículo.
Por otro lado, han quedado plasmados mis esfuerzos para expresar la notación matemática en un artículo de la web. No soy muy experto todavía en esto, y la solución que encontré en su momento fue la de usar el editor matemático del Microsoft Word para escribir la expresión que quería, y luego guardar dicha expresión como archivo de imagen, para incluirlo en el artículo. Los gráficos de las pirámides los realicé con el sencillo programa Paint que viene incluido en Windows.
Para algunas otras curiosidades matemáticas de la pirámide de Keops, entre las muchas que tiene, recomiendo leer mi artículo en el blog Vientos de eternidad.

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