La Gran Pirámide de Keops: pi por la raíz de fi es casi cuatro

Cuaderno de bitácora: publicamos hoy otro de los artículos que en su día aparecieron en doDK. Este artículo fue escrito hace más de seis años. En él explico un descubrimiento que hice por mí mismo, una extraordinaria coincidencia que se da en las proporciones de la Pirámide de Keops y que implica, necesariamente, una no menos extraordinaria coincidencia entre dos de los números más conocidos de las matemáticas.

 

[Vista de las tres grandes pirámides de la planicie de Giza o Gizeh. No hay que confundirse: la pirámide de Keops, la Gran Pirámide, es la que está más a la derecha, más atrás en la foto. La del medio es la de Kefrén, la segunda en altura, aunque en la foto parece más alta por estar más cerca, y la tercera la de más a la izquierda, la de Micerinos. La pirámide de Kefrén es muy fácil de reconocer porque conserva en su parte superior algo del revestimiento original. Es muy frecuente que se hable de la Gran Pirámide de Keops y sin embargo en las imágenes, erróneamente, aparezca la pirámide de Kefrén, la más fotogénica de las tres]

 

La gran pirámide de la planicie de Gizeh, la conocida como pirámide de Keops, siempre ha sido una fuente de misterios, y la mayoría están aún por resolver. Sus medidas han sido estudiadas exhaustivamente por todos los inquietos de los enigmas antiguos, y con los datos obtenidos podemos afirmar que los Egipcios no construyeron la pirámide dándole unas medidas al azar, sino que sus proporciones mantienen unas relaciones matemáticas muy interesantes entre sí.

La gran pirámide medía originalmente 147 metros de altura, y el lado de la base tenía una longitud de 230 metros, aproximadamente. Hoy en día la pirámide es un poco más baja, porque a lo largo de los siglos y sobre todo en la Edad Media ha sido utilizada de cantera artificial. Las piedras de las que estaba compuesta se han ido partiendo y tallando en ladrillos más pequeños para servir de material a algunos monumentos levantados en el pasado en la ciudad de El Cairo. Así la pirámide, que en su origen tenía una superficie pulida y blanca y estaba rematada por una punta de oro, se puede contemplar hoy como cuando contemplamos una casa vieja y a punto de derrumbarse, en la que se ven los ladrillos porque la capa de yeso que recubría la pared se ha caído con el tiempo.

Hace ya muchos años descubrí en cierto libro que las proporciones de la pirámide guardaban una importante relación: cuatro veces el lado de la base dividido por dos veces la altura daba el número pi. Esto es lo mismo que decir que si tomamos la altura de la pirámide como radio de una circunferencia, la longitud de la circunferencia coincide con el perímetro de la base.

Si tomamos como datos los que hemos mencionado anteriormente, h = 147 metros, y b = 230 metros. Haciendo la cuenta, 4·b = 920, 2·h = 294, y dividiendo ambas cantidades obtenemos 3'1292517..., es decir, aproximadamente 3'13. Teniendo en cuenta que tanto la altura de la pirámide como el lado de la base se han tomado de forma aproximada, es normal esperar que el resultado no coincida exactamente con el número pi.

Si tomamos en cuenta unas medidas más exactas, como las que aparecen en el libro De las mentiras de la Egiptología a las Verdades de la Gran Pirámide, de Luis García Gallo, la altura sería de 146'7 metros y el lado de la base de 230'4 metros (aproximadamente). Volviendo a hacer los cálculos con estas dos nuevas aproximaciones tenemos que 4·b/(2·h) = 3'14110429... y aquí ya nos vamos aproximando más al número pi. De hecho el error es del orden de 0’016%.

El error es mínimo y totalmente admisible ya que en arquitectura, lo mismo que en todas las demás ciencias aplicadas, las medidas tienen un límite de precisión. De hecho, los cuatro lados de la base de la pirámide no miden exactamente lo mismo, sino que se diferencian en algunos centímetros. De la misma forma las desaparecidas Torres Gemelas no eran exactamente igual de altas, sino que una era un poco más alta (creo que como medio metro) que la otra. A todo esto hay que añadir los estragos del tiempo sobre los monumentos. Las medidas obtenidas son aproximadas sobre una estimación de lo que la pirámide medía cuando la construyeron, hace casi cinco mil años, porque ahora las medidas son muy distintas...

La relación entre b y h se puede expresar así:

Es decir, la proporción entre b y h es como la de pi a 2.

Consultando la página de matemáticas Epsilones descubrí algo nuevo para mí. Según el historiador Heródoto, los Egipcios construyeron la gran pirámide de tal forma que el área de cada una de las caras triangulares laterales coincidiera con el área de un cuadrado de lado igual a la altura.

Teniendo en cuenta lo que acabamos de decir, nos encontramos con las siguientes fórmulas:

Vamos a buscar la proporción entre a, b y h:

Dividimos por b cuadrado y consideramos a/b como una incógnita:

Hemos suprimido la solución negativa porque tanto a como b son números positivos (estamos tratando con longitudes de la pirámide).

De repente nos ha aparecido el número áureo, fi), un número no tan conocido como pi, pero muy importante en la historia de las matemáticas:

De aquí tenemos la relación entre a y b, y por ende entre b y h:

Con esto tenemos que la proporción entre a y b es como la de fi a 2, y la proporción entre b y h es como la de 2 a la raíz cuadrada de fi.

Resumiendo, si los Egipcios construyeron la pirámide con las proporciones mencionadas por el historiador Heródoto, entonces la pirámide de Gizeh es proporcional a una que tenga como altura de una de las caras laterales a fi y como lado de la base a 2:

Entonces surge la cuestión de si ambas propiedades de la pirámide son consistentes, la de pi y la de fi. ¿Cuál de las dos propiedades es la que guió a los constructores de la pirámide? ¿O los constructores quisieron incluir adrede ambas características en su diseño?

Supongamos que somos los constructores, y el faraón nos ordena que levantemos una pirámide en la que el perímetro de la base dividido entre dos veces la altura dé el número pi. Como ya conocemos el número pi, sólo tenemos que preguntarle al faraón la altura que quiere que tenga, y tras unos cálculos sencillos, obtenemos todas las dimensiones, el lado de la base, la longitud de las aristas, etc. Pero el faraón nos dice poco después que además quiere que el área de una de las caras laterales sea igual al área de un cuadrado de lado igual a la altura.

¿Pueden ser posibles ambas cosas? Nosotros ya hemos hecho los cálculos de todas las dimensiones y ya casi nos hemos puesto manos a la obra... Sólo podemos esperar que la suerte nos acompañe y que efectivamente y casi por casualidad se cumpla la segunda condición que nos pide nuestro rey.

¡Y la suerte está de nuestro lado!

Para que se cumpla la condición de pi, b y h tienen que estar en proporción de pi a 2. Para que se cumpla la condición de fi, b y h tienen que estar en proporción de 2 a raíz de fi. Si queremos que se cumplan las dos condiciones, ambas proporciones han de ser iguales:

Bueno, esto no es cierto exactamente, pero sí aproximadamente:

De hecho el error que se comete es menor al 0'1%. Eso quiere decir que con un error del 0'1% podemos construir una pirámide que cumpla las dos condiciones, guardando dentro de sus proporciones al número pi y al número fi. Y la pirámide de Keops es un ejemplo de ello.

Maravilloso, ¿verdad? Y todo porque pi por la raíz de fi es casi cuatro.

 

Notas: no fui el primero en descubrir esta coincidencia entre los números pi y fi. En el libro de Martin Gardner, Los Mágicos Números del Doctor Matrix, en el capítulo de las pirámides, se habla sobre la curiosa relación entre el número pi y el número fi que posibilita que la Gran Pirámide de Keops cumpla dos propiedades matemáticas diferentes. Sin embargo, honestamente, no leí ese contenido del libro hasta este mismo año pasado, 2009, seis años después de escribir este artículo.

Por otro lado, han quedado plasmados mis esfuerzos para expresar la notación matemática en un artículo de la web. No soy muy experto todavía en esto, y la solución que encontré en su momento fue la de usar el editor matemático del Microsoft Word para escribir la expresión que quería, y luego guardar dicha expresión como archivo de imagen, para incluirlo en el artículo. Los gráficos de las pirámides los realicé con el sencillo programa Paint que viene incluido en Windows.

Para algunas otras curiosidades matemáticas de la pirámide de Keops, entre las muchas que tiene, recomiendo leer mi artículo en el blog Vientos de eternidad.

http://elmatenavegante.blogspot.com.ar/2010/01/la-gran-piramide-de-keops-pi-por-la.html

How many of these ‘ ~ ‘ notches can  we count on the circumference of this Celtic brooch?

source of image: Walter Russell

Recall that the two Platonic solids the octahedron and the cube share unique relationships with each other.

http://euler.slu.edu/escher/index.php/Spherical_Geometry

But in the Great Pyramid we encounter a 55 vs. 56 anomaly in the Grand Gallery.

Why 56?

The number 56 looks like it may have been significant to the architects:

1. 56 x 56 x 56 times the size of the Great Pyramid: Here the circumference of the earth = length of the pyramid base.
2. 1/56 of the pyramid is the size of the missing capstone described by several sources
3. 1/(56 x 56) times the size of the pyramid is the tiny one of Figure 1 with a base approx. 7 x 7cm.

• http://myweb.tiscali.co.uk/pyramidiocy/

Coinciding with the unprecedented height of Cheops’s Pyramid there is also an unprecedented feature in its inner layout,
the Grand Gallery.

The length of the Grand Gallery is 91.37 cubits or 47.877 meters.

The middle of the grand gallery is 13.79 cubits (7.22 meters) east of the pyramid’s centre axis.

The Grand Gallery has 7-step corbeled side walls, 2 RC wide at the top and 4 RC wide at the floor.

The floor has a central groove 2 RC wide, flanked by 1 RC floor-ramps on each side.
The Grand Gallery is about 18 RC high vertically, or about 16 RC high perpendicular to its floor.
It is about (200/sqrt(5)) = about 89 RC long.

The Grand Gallery contains two grooves, one in the east wall and one in the west wall. They are 7 inches high, 1 inch deep, and 5 inches up from the 3rd overlapping corbel. They run the entire length of the gallery. Click for a diagram

There are a total of 55 ramp-holes on both sides of the floor-ramps. 

Architectural Analysis of the Great Pyramid
http://www.ancient-wisdom.co.uk/Ghizaarchitecture.htm#2.25

Our Inheritance in the Great Pyramid

by Piazzi Smyth (pdf)
http://www.archive.org/stream/ourinheritancein00smytuoft#page/ii/mode/2up

Piazzi Smyth, Ramps, Ramps Holes, Well’s Upper Mouth
http://www.archive.org/stream/ourinheritancein00smytuoft#page/378/mode/2up

The absence of the twenty-eighth slot in the western banquette, whose place is now taken up by the opening of the ‘well’, serves to confirm the views expressed by Petrie; to wit, that the connection of the Grand gallery with the primitive shaft used by descending stonecutters, a hole drilled through the masonry, was a task undertaken after the pyramid had been built.

http://www.ancient-wisdom.co.uk/Ghizaarchitecture.htm#2.27

The details of the Grand Gallery are extremely important and have no parallel in any other structure on Earth*

Its geometric design predicts that sound originating within its space is focused through a passageway past the Antechamber and into the granite complex known as the King’s Chamber.
This phenomena has been noted by musicians, acoustical engineers, military scientist and laypeople alike.
Some of the more puzzling features of this architectural acoustical miracle, however, are not adequately explained by conventional literature or, indeed, in any other literature.

There are the 27 pair of slots that are cut into the ramps that traverse both side of the Grand Gallery.

* except this next image which contains 56 people of history.

In the center Plato (#1), holding the Timaeus and pointing to the heavens, speaks with Aristotle (#2), holding the Ethics and gesturing towards the earth. They are framed by the triumphal arch above as well as by barrel vaults and sky; they are also surrounded by the largest number of people (#3-10, 52-56). In addition, #11 is ascending the stairs, leaving the geometers and astronomers below, while #12 points out Plato and Aristotle to him. Figure #13 is intently writing while a friend (#14) looks on in interest. At the far right, others are coming in, the younger two (#17 and 18) looking curiously at those below. The old man (#16) is eagerly moving in a different direction, apparently towards Plato and Aristotle. Above the thoughtful old man (#15) who gestures downward like Aristotle, is the statue of Athena, goddess of wisdom, crafts, and war. She is dressed in military garb and on her shield is the terrifying face of the Gorgon. Below her is a relief of Virtue elevated upon clouds, holding one hand at her breast, the seat of valor, while extending the other toward the earth with the scepter of her empire.
http://thomasmorestudies.org/cu_history.html

* and except this well … and its accompanying myth regarding ‘CR’

‘Well of Initiation’, into the interior of the earth; picture shows also the Rose of the Winds over the Templar Cross, the Rose Cross, in “Quinta da Regaleira”,Sintra, Portugal (built ca. 1904-1910).

According to legend, Christian Rosenkreuz was a doctor who discovered and learned esoteric wisdom on a pilgrimage to the Middle East among Turkish, Arab, and Persian sages, possibly Sufi or Zoroastrian masters, supposedly in the early 15th century (see section below on Symbolism) ; returned and founded the “Fraternity of the Rose Cross” with himself (Frater C.R.C.) as Head of the Order. Under his direction a Temple, called Sanctus Spiritus, or “The House of the Holy Spirit”, was built.

The legend presented in the Manifestos has been interpreted symbolically (as were all hermetic and alchemical texts of those times). They do not directly state Christian Rosenkreuz’s years of birth and death, but in two sentences in thesecond Manifesto the year 1378 is presented as being the birth year of “our Christian Father”, and it is stated that he lived for 106 years, which would mean he died in 1484.^[5] The foundation of the Order can be supposed in similar terms to have occurred in the year 1407. However, these numbers (and deduced years) are not taken literally by many students of occultism, who consider them to be allegorical and symbolic statements for the understanding of the Initiated. The justification for this relies on the Manifestos themselves: on the one hand, the Rosicrucians clearly adopted through the Manifestos the Pythagorean tradition of envisioning objects and ideas in terms of their numeric aspects, and, on the other hand, they directly state,

“We speak unto you by parables, but would willingly bring you to the right, simple, easy and ingenuous exposition, understanding, declaration, and knowledge of all secrets.”

“from the year of Our Lord 1378 (in which year our Christian Father was born)“, in Confessio Fraternitatis

The significance of 137–8 and 147 is best understood if NOT taken literally, I agree … allow me to illustrate.

The metaphorical nature of these legends lends a nebulous quality to the origins of Rosicrucianism. The opening of Rosenkreuz’s tomb is thought to be a way of referring to the cycles in nature and to cosmic events; and as well, to the opening of new possibilities for mankind consequent on the advances of the 16th and early 17th centuries. Similarly, Rosenkreuz’s pilgrimage seems to refer to the transmutation steps of the Great Work.

Similar legends may be found in Wolfram von Eschenbach‘s description of the Holy Grail as the “Lapis Exillis“, guarded by the Knights Templar, or in the Philosophers’ stone of the alchemists, the “Lapis Elixir“.

http://en.wikipedia.org/wiki/Christian_Rosenkreuz

Here comes the AHA!!!

Important to note the following: Especially since I have a habit of suggesting LEvIturned upside down becomes I^37

The word EXILLIS rotated 180 degrees appears as:

SI77IX3 or 51771X3

51771 X 3

What is the significance of those numbers 157?

Jesus Mihi Omnia 157

Some occultists including Rudolf Steiner, Max Heindel^[3] and (much later) Guy Ballard, have stated that Rosenkreuz later reappeared as the Count of St. Germain, a courtier, adventurer, and alchemist who reportedly died on February 27, 1784. Steiner once identified Rembrandt’s painting “‘A Man in Armour’” as a portrait of Christian Rosenkreuz, apparently in a 17th century manifestation. Others believe Rosenkreuz to be a pseudonym for a more famous historical figure, usually Francis Bacon.

Jesus mihi omnia

It is described that on the Sarcophagus in the centre of the Crypt of Christian Rosenkreutz were written, among other inscriptions the words, “Jesus mihi omnia, nequaquam vacuum, libertas evangelii, dei intacta gloria, legis jugum,” (being in translation, “Jesus is everything to me, by no means a vacuum/a vacuum by no means exists, the freedom of the good news/gospel, the inviolate glory of god, the yoke of the law”) testifying to the builder’s Christian character. Rosenkreuz’s crypt, according to the description presented in the legend, seems to be located in the interior parts of the Earth, recalling the alchemical motto VITRIOL: “Visita Interiora Terrae Rectificando Invenies Occultum Lapidem

“Visit the Interior Parts of the Earth; by Rectification Thou Shalt Find the Hidden Stone.”

157 sources:

• FRACTALS – KEYHOLE – DNA – ANKH – LAPIS EXILLIS
• 157 – Geometry of the Zeitgeist – the Maltese Cross – the Jain Matang – the Polynesian Mattang
• Marko Rodin VBM 2 Fish and 5 Loaves of Bread

Cosmology

The evolution of man is divided into seven Periods:

• involution: the Saturn Period, the Sun Period, the Moon Period;
• the Earth Period (first half still involution, second half towards evolution);
• evolution: the Jupiter Period, the Venus Period, the Vulcan Period.

We are presently in the second half of the Earth Period: we have just passed the end of our involution and are beginning our evolution, or the spiritualization of matter and our return to God our Father.

http://en.wikipedia.org/wiki/Rosicrucian_Fellowship

Note the associations above given by Rosicrucian doctrine.

What happens if we add the magic squares associated with each planet listed?

• 369 is related to involution: Saturn 3×3, Sun 6×6, Moon 9×9
• 58 is related to the Earth Period and Caput 58 the head of St. John the Baptist
• (note Rosicrucian doctrine does NOT mention Mars 5×5 and Mercury 8×8)
• 4710 is related to evolution: Jupiter 4×4, Venus 7×7, Vulcan 10  

 The above Rosicrucian cosmology bears a close resemblance to how those numbers are divided by concentric rings on the …